Observables transformieren, Griffiths missverstehen, Intro. zu QM oder einer anderen Definition
In Griffiths ' Intro. bis QM 3., Sec. 6.2 , Transformation eines Observablen$Q$ vom Übersetzungsoperator $T$ wird gefunden zu sein $$ Q' = T^\dagger Q\ T $$ Gleiches gilt für den Paritätsoperator $\Pi$ Anstatt von $T$ wir haben $Q' = \Pi^\dagger Q\ \Pi$.
Aber in anderen Texten, z. B. Tannoudji, QM, 2nd ed, Vol. I, Ergänzungen zu Kapitel VI, Ergänzung B.$_{VI}$, 5. Rotation von Observablen und auch in anderen Fragen hier und hier die Transformation auf dem Observablen$A$ durch eine einheitliche Transformation $U$ sollte sein $$ A' = UA\ U^\dagger $$ wo $U$, wie ich verstehe, sollte eine aktive Transformation sein, als $T$oben und ich erwartete, dass die beiden Gleichungen gleich sein sollten. Aber es scheint, dass die beiden Definitionen nicht gleichwertig sind, oder liegt ein Fehler vor?
HINZUGEFÜGT
Griffiths Definition:
Der transformierte Operator $\hat Q'$ ist definiert als der Operator, der im nicht übersetzten Zustand den gleichen Erwartungswert angibt $\psi$ ebenso wie der Betreiber $\hat Q$ im übersetzten Zustand $\psi'$ $$ \langle\psi'|\hat Q|\psi'\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$Es gibt zwei Möglichkeiten, die Auswirkung einer Übersetzung auf einen Erwartungswert zu berechnen. Man könnte die Wellenfunktion tatsächlich über eine gewisse Entfernung verschieben (dies wird als aktive Transformation bezeichnet ) oder man könnte die Wellenfunktion dort belassen, wo sie war, und den Ursprung unseres Koordinatensystems um den gleichen Betrag in die entgegengesetzte Richtung verschieben (eine passive Transformation ). Der Betreiber$\hat Q'$ ist der Operator in diesem verschobenen Koordinatensystem.
Mit Gl. 6.1,$$ \langle\psi|T^\dagger\hat Q\ \hat T|\psi\rangle = \langle \psi | \hat Q' |\psi \rangle $$
Tannoudji Definition:
Nehmen wir an, das System befindet sich im Eigenzustand $|u_n\rangle$ von $A$: das Messgerät $A$ in diesem System wird das Ergebnis geben $a_n$ohne Fehler. Kurz vor der Messung wenden wir jedoch eine Rotation an$\scr R$an das physikalische System und gleichzeitig an das Messgerät; ihre relativen Positionen sind unverändert. Folglich, wenn das beobachtbare$A$ Die von uns in Betracht gezogene physikalische Größe beschreibt nur das System, das wir gedreht haben (dh unabhängig von anderen Systemen oder Geräten, die wir nicht gedreht haben). In seiner neuen Position liefert das Messgerät dann immer noch das gleiche Ergebnis $a_n$ohne Fehler. Nach der Drehung misst das Gerät nun per Definition$A'$und das System befindet sich im Status: $$ |u_n'\rangle = R|u_n\rangle $$ Wir müssen daher haben: $$ A|u_n\rangle = a_n|u_n\rangle \implies A'|u_n'\rangle = a_n|u_n'\rangle $$ das ist: $$ R^\dagger A' R |u_n\rangle = a_n|u_n\rangle $$
Beachten Sie, dass $\scr R$ ist die Rotation der physikalische dreidimensionale Raum und $R$ ist der repräsentative Betreiber im Hilbert-Raum.
Antworten
Bei der Definition der ( aktiven ) Wirkung einer Symmetrie auf Observable in der Quantenphysik gibt es zwei physikalisch unterschiedliche Ideen mit unterschiedlichen mathematischen Eigenschaften .
Es sei angenommen , dass nach dem Wigner - Theorem ,$U$ ist eine entweder einheitliche oder anti-einheitliche Transformation von Zustandsvektoren $\psi$entsprechend einer aktiven Wirkung auf die Zustände eines Quantensystems.
Wenn $A$ist eine beobachtbare, wir haben die doppelte Aktion ,$$A \to S_U(A) := U^{-1}A U$$und die umgekehrte doppelte Wirkung $$A \to S^*_U(A) := UAU^{-1}\:.$$
Ersteres hat die Bedeutung einer Aktion auf die physikalischen Messinstrumente, so dass die Auswirkung auf die Ergebnisse auf den unveränderten Zustand dieselbe ist wie die Ergebnisse der geänderten Zustände auf die unveränderten Observablen. Dh anstatt das System zu übersetzen$x$Ich übersetze die Instrumente mit $-x$.
Letzteres hat die Bedeutung einer Wirkung auf die Messinstrumente, die die Wirkung der Symmetrie auf das System hinsichtlich der Messergebnisse aufhebt.
Die Beweise für diese Tatsachen sind aus dem grundlegenden QM-Formalismus trivial (siehe die letzte Anmerkung ).
Es gibt einen grundlegenden mathematischen Unterschied bei der Diskussion der Wirkung einer Symmetriegruppe $G$ dargestellt durch eine einheitliche (oder projektive einheitliche) Darstellung auf den Zustandsvektoren $$G\ni g \mapsto U_g\:.$$ Wie üblich (bis zu Phasen) $$U_gU_h =U_{g\circ h}\:, \quad U_e = I$$ wo $\circ$ ist das Produkt in $G$ und $e$ist das Identitätselement. Ich benutze fortan die Kurzschrift$S_g := S_{U_g}$ und ähnlich für $S^*$.
Die inverse Doppelwirkung definiert eine korrekte Darstellung von $G$:: $$S^*_g S^*_h = S^*_{g\circ h}\:,$$ wohingegen die doppelte Aktion eine linke Darstellung definiert $$S_g S_h = S_{h\circ g}\:.$$Die Verwendung der einen oder anderen Aktion ist zweckmäßig und hängt von der physischen Interpretation ab. In der QFT wird die natürliche Wirkung der Gruppe von Isometrien der Raumzeit auf Feldbeobachtungsgrößen normalerweise durch implementiert$S^*$.
HINWEIS .
Wenn $$A = \int_{\sigma(A)} \lambda dP^{(A)}(\lambda)$$ ist die spektrale Zerlegung des selbstadjunkten Operators $A$ und $U$ ist also ein einheitlicher oder antiunitärer Bediener $$UAU^{-1} = \int_{\sigma(A)} \lambda dUP^{(A)}(\lambda)U^{-1}\:.$$ Mit anderen Worten, das Spektralmaß $P^{(UAU^{-1})}(E)$ von $UAU^{-1}$ ist nur $UP^{(A)}(E)U^{-1}$.
Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis von $A$ bleibt in $E\subset \mathbb{R}$ wenn der Zustand durch den Einheitsvektor dargestellt wird $\psi$ ist $$||P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}P^{(A)}(E)U \psi||^2 = ||P^{(U^{-1}AU)}(E)||^2 = ||P^{(S_U(A))}(E) \psi||^2\:,$$ Anlass zu dieser Interpretation von $S_U(A)$: Einwirken auf $A$ mit $S_U$ und wenn der Zustand fest bleibt, ist dies gleichbedeutend mit dem Handeln $\psi$ mit $U$ und gehen $A$ unverändert.
Insbesondere in Bezug auf Erwartungswerte, $$\langle\psi| S_U(A) \psi \rangle = \langle U\psi| A \:U\psi \rangle$$
Ähnlich, $$||P^{(S^*_{U}(A))}(E)U \psi||^2 = ||U^{-1}UP^{(A)}(E)U^{-1}U \psi||^2 = ||P^{(A)}(E) \psi||^2\:,$$ Anlass zu dieser Interpretation von $S^*_U(A)$: die Aktion auf $A$ mit $S_U^*$ bricht die Aktion von ab $U$ auf $\psi$.
Insbesondere in Bezug auf Erwartungswerte, $$\langle U\psi| S^*_U(A) U\psi \rangle = \langle\psi| A \psi \rangle$$