$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ wo $\gamma$ ist die Ellipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Dec 04 2020

$\oint_{\gamma}(2z-3\bar z+1)\,dz$ wo die Kontur $\gamma$ ist die Ellipse $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ im Uhrzeigersinn durchquert.

Meine Schwierigkeit besteht darin, die Ellipsenformel in einen analytischen Pfad zu übersetzen. für Kreis ist es einfach ($e^{zi}$), aber ich weiß nicht, wie ich das für Ellipse machen soll.

Antworten

1 Buraian Dec 04 2020 at 01:00

$$ z(t) = 2 \cos t + i3 \sin t$$

Erläuterung:

$$ z(t) = x(t) + i y(t)$$

Nun zur Ellipse für eine trignomeetrische Parametrisierung: $x=2 \cos t$ $y=3 \sin t$Stecken Sie dasselbe in die komplexe Funktion in $t$

2 achillehui Dec 04 2020 at 01:44

Vergessen Sie die explizite Parametrierung von $\gamma$Verwenden Sie einfach den Satz von Stoke . Verwenden Sie insbesondere die in komplexen Koordinaten angegebene Version.

Lassen $E$ sei die Ellipse, die durch begrenzt wird $\gamma$. Schon seit$\gamma$ läuft herum $E$ im Uhrzeigersinn ist es "negativ" zur Ausrichtung von $\partial E$, die Grenze der Ellipse. Wenden Sie den Satz von Stoke in komplexen Koordinaten an

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = \int_{-\partial E}(2z - 3\bar{z} + 1) dz = -\int_E d(2z - 3\bar{z} + 1) \wedge dz\\ = 3\int_E d\bar{z} \wedge dz = 6i \int_E \frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i}$$ In Bezug auf kartesische Koordinaten,

$$\frac{d\bar{z}\wedge dz}{2i} = \frac{d(x-iy) \wedge d(x+iy)}{2i} = dx \wedge dy$$ist einfach das Flächenelement. Seit Ellipse$E$ hat Halb-Haupt- / Nebenachsen $3$ und $2$, wir haben:

$$\int_\gamma (2z - 3\bar{z} +1 ) dz = 6i\verb/Area/(E) = 6i(6\pi) = 36\pi i$$

Lassen Sie uns zum Vergleich die Berechnung in kartesischen Koordinaten wiederholen.

Wir können parametrisieren $E$ wie

$$[0,2\pi] \ni \theta\quad\mapsto\quad (x,y) = (2\cos\theta,\color{red}{-}3\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \sim \mathbb{C}$$

Schon seit $\gamma$ läuft herum $E$ im Uhrzeigersinn das Schild vor $\sin\theta$ist negativ statt positiv. Stecken Sie diese in das ursprüngliche Integral, es wird

$$\begin{align} &\int_0^{2\pi} (2(2\cos\theta - 3\sin\theta i) - 3(2\cos\theta + 3\sin\theta i) + 1)(-2\sin\theta - 3\cos\theta i) d\theta\\ = &\int_0^{2\pi} -(2 + 41\cos\theta)\sin\theta + (30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta - 3\cos\theta)i d\theta\end{align}$$ Wenn wir Begriffe wegwerfen, die eindeutig nicht dazu beitragen, bekommen wir

$$\begin{align}\int_\gamma(2z - 3\bar{z} +1 )dz &= i\int_0^{2\pi}(30\sin^2\theta + 6\cos^2\theta)d\theta\\ &= i(30\pi + 6\pi) = 36\pi i\end{align} $$ Selbe Nummer $36\pi i$ wir haben vorher erhalten.