Partitionierung kartesischer Produkte der Form $[0,n]\times[0,m]$ (( $n,m\in\mathbf{N}$) "Diagonal"

Question

Betrachten Sie das kartesische Produkt $[0,2]\times[0,3]$. Die Elemente dieses Sets sind$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Die folgenden Sätze partitionieren dieses kartesische Produkt "diagonal": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Gibt es eine Möglichkeit, dies für beliebige zu tun $n,m\geq 0$? Ich dachte zunächst über den folgenden Weg nach. Für jeden$k\in[0,m+n]$, Lassen $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Aber diese $J_k$'s enthalten mehr Elemente als ich brauche. Irgendwelche Vorschläge, um dies zu ändern?

Answer 1

Ich habe Ihre Definition des Sets überprüft $J_k$ für Ihr Beispiel oben und es stellte sich heraus, dass es gut funktioniert.

Betrachten Sie zum Beispiel $k=2$. Dann

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Sie möchten also diese geordneten Paare im Rechteck $[0,2] \times [0,3]$ das sind in der Linie $j = -i + 2$. Und haben Sie vielleicht gesehen, diese Gleichung zu lösen (das zu wissen$i, j \in \mathbb{N}$) Sie erhalten genau die Lösungen, die Sie in Ihrer Frage geschrieben haben.

Im Allgemeinen ist es das, was Sie in diesen Sets tun

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Hier listen Sie alle Paare auf, die sich im Rechteck befinden $[0,n] \times [0,m]$ und in der Linie $i + j = k$.

Daher eine Sammlung dieser Sets $J_k$ gibt Ihnen die Partition dieses Rechtecks ​​"diagonal".