Praktisch große Gruppen mit kleinem Rang (bezogen auf 3-Mannigfaltigkeiten)
Ich suche nach einem Grund, warum eine 3-Mannigfaltige Gruppe $G$ das ist virtuell $\mathbb{Z}\times F$, $F$Da es entweder nicht zyklisch frei oder eine Oberflächengruppe ist, wird keine Präsentation auf zwei Generatoren zugelassen.
Dies sind die Grundgruppen geschlossener 3-Verteiler mit $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ Geometrie (danke @HJRW für den Hinweis, dass der obige Durchstreichungsfall einer nicht leeren Grenze entspricht), und es stellt sich heraus, dass alle anderen Geometrien Beispiele mit einer Grundgruppe von Rang zwei zulassen, mit einem bemerkenswerten Highlight der euklidischen Geometrie, wo alle grundlegend sind Gruppen sind virtuell $\mathbb{Z}^3$(und Rang zwei Beispiele sind die Fibonacci-Mannigfaltigkeiten). Somit geben die 3-Mannigfaltigkeitsgruppen Beispiele für praktisch hochrangige Gruppen zu, die selbst dennoch von geringem Rang sind. Natürlich ist bekannt, dass eine freie Gruppe mit zwei Generatoren praktisch einen willkürlich hohen Rang hat.
Nach Boileau & Zieschang , Satz 1.1, ist der Rang von$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ Die Mannigfaltigkeiten hängen von der Gattung der Basisoberfläche und der Anzahl der singulären Fasern der Seifert-Fibration ab (und sind mindestens 3), also praktisch $\mathbb{Z}\times F$ zwingt die Gruppe, mindestens den gleichen Rang zu haben.
Was ist die Ursache dafür, dass diese Untergruppe den Rang der Umgebungsgruppe von unten begrenzt und beispielsweise freie Gruppen oder abelsche freie $\mathbb{Z}^3$unterlassen Sie? Ich würde mich freuen, wenn hier ein geometrischer dreidimensionaler Grund im Spiel ist, wäre aber dankbar, dass ich auch meine allgemeine Gruppentheorie auffrischen würde.
Antworten
Die Frage ergibt sich aus einer Fehlinterpretation von Satz 1.1 in der Arbeit von Boileau und Zieschang. Satz 1.1 schließt eine ganze Reihe von Fällen aus, insbesondere gilt er nicht für (vollständig orientierte) geschlossene Seifert-Verteiler mit 3 singulären Fasern und Basis der Gattung 0. Einige dieser ausgeschlossenen Seifert-Verteiler liefern Gegenbeispiele zu Ihrer Behauptung über den Rang$\ge 3$.
Nehmen Sie zum Beispiel das Äußere $N$ von a $(p,q)$- Torusknoten, der nicht trivial ist und nicht das Kleeblatt. Die Gattung dieses Knotens ist$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(weil ich das Kleeblatt mit der Gattung 1 ausgeschlossen habe). Der Verteiler$N$ ist ein Oberflächenbündel über dem Kreis, dessen Faser $F$ ist die einmal punktierte Oberfläche der Gattung $g$. Die Monodromie dieser Fibration ist eine endliche Ordnung (tatsächlich ist die Ordnung$pq$) Homöomorphismus $h: F\to F$. Wenn wir also die Grenze von kollabieren$F$ Um zu zeigen, erhalten wir eine geschlossene Oberfläche $S$ der Gattung $g$ und $h$ wird zu einem Homöomorphismus endlicher Ordnung projizieren $f: S\to S$. Der Mapping-Torus$M=M_f$ ist eine Seifert-Mannigfaltigkeit vom Typ ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ erhalten durch eine Dehn-Füllung der Grenze von $N$. Die Basis der Seifert-Fibration hat drei singuläre Punkte und die Gattung 0: Zwei der singulären Fasern stammen von$N$ und einer kommt von dem festen Torus, an dem er befestigt ist $\partial N$als Ergebnis unserer Dehn-Füllung. (Es ist eine allgemeine Tatsache, dass der Mapping-Torus eines Homöomorphismus endlicher Ordnung einer hyperbolischen Oberfläche eine Seifert-Mannigfaltigkeit vom Typ ist${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Seit der Gruppe $\pi_1(N)$ ist 2-generiert, die Quotientengruppe $\pi_1(M)$ wird auch 2-generiert.