Probleme mit $I(\alpha) = \int_0^{\infty} \frac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$

Jan 07 2021

Ich versuche letztendlich zu lösen $$I(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} dx$$

durch Differenzierung unter dem Integral. Mir ist klar, dass dies am einfachsten mit Rückständen möglich ist, aber ich beabsichtige, mit diesem Problem meinen Schülern der fortgeschrittenen Analysis 2 / Differentialgleichungen einige interessante Techniken vorzustellen, bevor sie eine echte Analyse durchführen.

Eine erstmalige Differenzierung unter dem Integral führt zu

$$I'(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{-x \sin (\alpha x)}{x^2 + 1} dx = - \dfrac{\pi}{2} + \int_0^{\infty} \dfrac{\sin (\alpha x)}{x(x^2 + 1)}dx$$

unter Verwendung des Dirichlet-Integrals und erneut zu

$$I''(\alpha) = \int_0^{\infty} \dfrac{\cos (\alpha x)}{x^2 + 1} = I(\alpha)$$

Um diese ODE zweiter Ordnung zu lösen, benötigen wir zwei Anfangsbedingungen. Das Integral für$I'(\alpha)$ führt zum falschen Ergebnis $I'(0) = 0$ aber die umgeschriebene Version führt zum korrekten Ergebnis von $I'(0) = -\dfrac{\pi}{2}$. Ich habe Probleme, dies zu rechtfertigen.

Jede Hilfe oder Anleitung wird geschätzt. Ich werde mich auch mit einfacheren Argumenten zufrieden geben, warum$I'(0) \neq 0$.

Antworten

3 Chris Jan 07 2021 at 04:10

Sie nehmen das an $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx= \frac{\pi}{2} $$ aber wenn $\alpha=0$, dann $$ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin(\alpha x)}{x}dx=0 $$ Also die Gleichheit $$ \int_{0}^{\infty}\frac{−x\sin(αx)}{x^2+1}dx=-\frac{π}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(αx)}{x(x^2+1)}dx $$ ist wahr iff $\alpha>0$.