Produktantrieb von symmetrischen Systemen
Angesichts einer Familie von erzwungenen Vorstellungen $(P_i)_{i\in I}$ Wir können das Produkt nehmen $P:=\prod_{i\in I}P_i$ als zwingender Begriff, einen generischen Filter des Formulars zu erstellen $G=(G_i)_{i\in I}$ so dass für jeden $i\in I$ die Projektion $G_i$ entspricht dem generischen Filter, der beim Forcen mit erstellt wird $P_i$. Dies wird als Produkt-Forcen bezeichnet und ermöglicht es uns, mehrere verschiedene Arten von generischen Objekten gleichzeitig zu verbinden. (Für eine detailliertere Diskussion des Themas siehe Product Forcing und generische Objekte )
Jetzt ist meine Frage, ob und wie Produkt-Forcen mit symmetrischem Forcen kombiniert werden kann. Angenommen, wir haben eine Familie von erzwungenen Begriffen wie oben und eine Familie von Gruppen$(\mathcal{G}_i)_{i\in I}$ ebenso gut wie $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ so dass $\mathcal{G}_i$ ist eine Untergruppe von $Aut(P_i)$ und $\mathcal{F}_i$ ist ein normaler Filter an $\mathcal{G}_i$ für alle $i\in I$. Können wir nur definieren$P$ wie oben mit $\mathcal{G}:=\prod_{i\in I}\mathcal{G}_i$ Einwirken auf $P$ komponentenweise und $\mathcal{F}\simeq\prod_{i\in I}\mathcal{F}_i$ als normaler Filter auf $\mathcal{G}$ ?
Betrachten Sie beispielsweise Cohens ursprüngliches symmetrisches Modell von $ZF+\neg AC$ wo er sich zählbar vielen generischen Realitäten anschließt und dann eine unendliche Teilmenge konstruiert $A\subset \mathbb{R}$ohne zählbar unendliche Teilmengen. Dann sollte die oben beschriebene Konstruktion es uns ermöglichen, uns anzuschließen$I$ viele solcher Sets $(A_i)_{i\in I}$ auf einmal.
Gibt es irgendwelche Komplikationen, die bei dieser Art von Konstruktion auftreten können (dh symmetrisches Produktzwingen)? Gibt es Literatur zu diesem Thema?
Antworten
Ja, davon gibt es viel in der Literatur. Obwohl sehr wenig in Bezug auf "abstrakte Rahmenbedingungen". Dies ist etwas, was im Wesentlichen von den frühen Tagen des Erzwingens an getan wurde, und Sie können Beweise dafür in frühen Zeitungen finden.
In meinen Arbeiten
Karagila, Asaf , Iterierende symmetrische Erweiterungen , J. Symb. Log. 84, Nr. 1, 123-159 (2019). ZBL1448.03038 .
Karagila, Asaf , Das Morris-Modell , Proc. Am. Mathematik. Soc. 148, Nr. 3, 1311-1323 (2020). ZBL07159661 .
Sie können eine allgemeinere Behandlung finden. Produkte sind ein besonderer Fall einer Iteration, und das erste Papier befasst sich mit dem Fall, in dem die Unterstützung endlich ist. Im Fall eines Produkts können wir jedoch auf einige Schwierigkeiten bei der Verallgemeinerung von Iterationen auf beliebige Unterstützungen verzichten, und einige der Arbeiten werden im zweiten Papier ausgeführt.
Darüber hinaus können Sie an vielen Stellen Produkte sehen, die "von Hand" definiert wurden. Es ist leicht zu erkennen, dass die Definitionen für jede Art von symmetrischen Systemen gelten (die Produkte werden jedoch normalerweise mit Forcierungen im Cohen-Stil verwendet). Hier sind einige aktuelle Beispiele, hauptsächlich aus meiner Arbeit, die dieses Thema ziemlich oft drehte, und ältere Beispiele.
Hayut, Yair; Karagila, Asaf , Spektren der Gleichförmigkeit. , Kommentar. Mathematik. Univ. Carol. 60, Nr. 2, 287 & ndash; 300 (2019). ZBL07144894 .
Karagila, Asaf , Einbetten von Befehlen in die Kardinäle mit (\ mathsf {DC} _ {\ kappa}) , Fundam. Mathematik. 226, Nr. 2, 143-156 (2014). ZBL1341.03068 .
Karagila, A. , Fodors Lemma kann überall scheitern , Acta Math. Hung. 154, Nr. 1, 231-242 (2018). ZBL1413.03012 .
Monro, GP , Unabhängigkeitsergebnisse bezüglich Dedekind-endlicher Mengen , J. Aust. Mathematik. Soc., Ser. A 19, 35-46 (1975). ZBL0298.02066 .
Roguski, Stanisław , Eine richtige Klasse paarweise unvergleichlicher Kardinäle , Colloq. Mathematik. 58, Nr. 2, 163-166 (1990). ZBL0706.03038 .
Zwischen all diesen sehen Sie endliche Unterstützungen, zählbar (oder $\kappa$-) unterstützt, Easton unterstützt, und Sie werden sehen, dass das Springen zu etwas anderem (was jetzt nur eine andere Art von gemischter Unterstützung ist, wirklich genau das gleiche ist).
Tatsächlich haben wir jetzt sogar noch mehr Leistung, da wir über die Änderung der Unterstützung im Produkt der Filter und der Gruppen sprechen können. Sie würden denken, dass dies bedeutet, dass wir viel mehr sagen können, aber in der Tat ist es normalerweise irrelevant.
In meinem Artikel über Iterationen habe ich ein Konzept namens "Hartnäckigkeit" beschrieben. Gegen Ende meiner Promotion In einer der vielen Diskussionen, die ich mit Yair Hayut geführt habe, haben wir beschlossen, herauszufinden, was wirklich unter diesem Konzept liegt. Und es stellte sich heraus, dass jedes symmetrische System einem zähen entspricht. Und das bedeutet, dass das Spielen mit verschiedenen Unterstützungen (dh endliche Unterstützung der Filter bei Verwendung von Easton beim Forcen) normalerweise nur der kleinsten Unterstützung entspricht, die Sie verwenden. Nicht unbedingt immer, aber normalerweise.
Das Cohen-Modell ist etwas knifflig. Jedes Generikum ist ein echtes Generikum, und wir kümmern uns nicht nur um diese, sondern auch um die Menge aller Generika. Dies ist also eigentlich kein Produkt, sondern eine Wiederholung des Hinzufügens jedes Real, wobei die Auswahl verletzt wird, indem nicht die Menge aller Real hinzugefügt wird, und dann das Hinzufügen der Menge von Generika ohne deren Reihenfolge erzwungen wird. All dies macht den Ansatz, nur als einzelne Erweiterung darüber nachzudenken, viel einfacher.