Projektive Auflösung eines Kettenkomplexes konstruieren

Question

Ich versuche die projektive Auflösung in der Kategorie der Kettenkomplexe von zu konstruieren

$\dots \to 0 \to M \to 0 \to \dots$

Es scheint möglich zu sein, dies im Hinblick auf die projektive Auflösung von zu tun $M$ aber ich stecke völlig fest.

Ich weiß, dass ein projektiver Kettenkomplex exakt aufgeteilt und durch projektive Ketten gebildet wird. Wenn wir uns also die Auflösung als einen Doppelkomplex mit einer halben Ebene vorstellen, ist die Spalte mit $M$ muss eine projektive Auflösung von sein $M$.

Ich habe versucht, den Trick von zu verwenden $0 \to P \to P \to 0$ ist immer ein projektiver Komplex $P$ ist projektiv, aber wenn ich das auf unseren Komplex lege, bekommen wir nicht unbedingt Genauigkeit.

Answer 1

Wenn $$\dots\to P_2\to P_1\to P_0 \to M\to0$$ ist eine projektive Auflösung von $M$ als Modul also $\dots\to0\to M\to0\to\dots$ hat eine Auflösung (nach projektiven Kettenkomplexen) in der Kategorie der Kettenkomplexe der folgenden Form (ich werde Sie die Unterschiede herausfinden lassen):

$\require{AMScd}$ \ begin {CD} @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \ vdots @. \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_2 @ >>> P_2 \ oplus P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_1 @ >>> P_1 \ oplus P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> P_0 @ >>> P_0 @ >>> 0 @ >>> 0 @ >> > 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> 0 @> >> 0 @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @. @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV @ VVV \\ @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 @ .0 \ end {CD}

Answer 2

In diesem Fall befinden Sie sich in der Kategorie der oben genannten begrenzten Komplexe, wobei a $\textit{projective resolution}$ eines Komplexes (in diesem Fall $\bar{M}:\cdots\rightarrow 0\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$) bedeutet einen übergeordneten Komplex von Projektiven $P$ mit einem Quasi-Isomorphismus $P\rightarrow \bar{M}$. Also, wenn Sie die übliche projektive Auflösung von nehmen$M$ als Modul, $$\cdots\rightarrow P^{-n}\rightarrow P^{-n+1}\rightarrow\cdots\rightarrow P^{-1}\rightarrow P^{0}\rightarrow M\rightarrow0\rightarrow\cdots$$ wir können die projektive Auflösung von konstruieren $\bar{M}$ folgendermaßen $\require{AMScd}$ \ begin {CD} \ cdots @ >>> P ^ {- 1} @ >>> P ^ {0} @ >>> 0 @ >>> \ cdots \\ @V {f ^ {- 2}} VV @V {f ^ {- 1}} VV @V {f ^ {0}} VV @V {f ^ {1}} VV @V {f ^ {1}} VV \\ \ cdots @ >>> 0 @ >>> M @ >>> 0 @ >>> \ cdots \ end {CD} wo der Pfeil$f:\bar{P}\rightarrow \bar{M}$ ist offensichtlich ein Quasi-Isomorphismus.

In der Kategorie Homotop $K(\mathscr{A})$ (wo $\mathscr{A}$ ist eine abelsche Kategorie wie die Kategorie der Module über einen Ring. Sie können dies verallgemeinern und darüber sprechen $K$-projektive Auflösungen, Komplexe $X$ im $K(\mathscr{A})$ die das überprüfen $Hom(X,Z)=0\ ,\ \forall Z\in\mathscr{Z}=\lbrace Z\in K(\mathscr{A})\ \text{such that}\ H^{n}(Z)=0\ \forall \ n\in\ \mathbb{N} \rbrace $.

Das Gute ist, wenn $P$ ist also ein übergeordneter Komplex von Projektiven $K$-Projektiv.