Randfall mit Probenahme und Rekonstruktion.
Ich weiß, dass ich mich schon einmal hier und hier mit dieser Frage beschäftigt habe , aber hat jemand in seiner Trickkiste den einfachsten und prägnantesten Beweis dafür, dass:
$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$
wo
$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$
und $t\in\mathbb{R}$ und $n\in\mathbb{Z}$ ?
Ich kann zeigen, dass beide Seiten eine gleichmäßige Funktion haben $t$ und dass beide Seiten sich einig sind, wann $t$ist eine ganze Zahl. Aber was ist der einfachste Weg, Gleichheit für alle Real zu zeigen?$t$ ?
Das möchte ich für uns Neandertaler-Elektrotechniker zusammenstellen. (und danke dir.)
Antworten
Diese Antwort basiert größtenteils auf dieser (sehr präzisen) Antwort auf eine verwandte Frage des OP.
Beachten Sie, dass für $t\in\mathbb{Z}$Die Gleichheit ist unkompliziert zu zeigen. Der interessante Fall ist wann$t$ist keine ganze Zahl. Die folgende Ableitung gilt für nicht ganzzahlige reelle Werte von$t$.
Verwenden von $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ wir können schreiben
$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$
Jetzt brauchen wir folgendes Ergebnis:
$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$
die hier , hier und hier zu finden sind und die sich aus der bekannten unendlichen Produktdarstellung der sinc-Funktion ableiten lassen
$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$
Kombinieren $(1)$ und $(2)$ ergibt das gewünschte Ergebnis.
Sie sollten etwas vorsichtig sein, wie Sie die Summe verstehen, aber vorausgesetzt, Sie verstehen $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ es als die Grenze als $N\to\infty$ von $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ (Cesaro-Summation, die das gleiche Ergebnis liefert wie die übliche, wenn letztere sinnvoll ist), können Sie einfach schreiben $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ so werden die Cesaro-Teilsummen $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ wo $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$ist der Fejer-Kernel . Was Sie jetzt wissen wollen, ist das$K_N$ ist symmetrisch, nicht negativ, $1$-periodisch, hat Gesamtintegral $1$ über den Zeitraum und neigt gleichmäßig dazu $0$außerhalb einer willkürlich kleinen Nachbarschaft der ganzen Zahlen. Also für große$N$, $K_N(x+\frac 12)$ ist eine Funktion, die fast ist $0$ auf $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ für jeden festen $\delta>0$ und hat integrale fast $\frac 12$ über jedes der Intervalle $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ und $[\frac 12-\delta,\frac 12]$. Wenn Sie so etwas dagegen integrieren$e^{2\pi i xt}$ Über $[-\frac 12,\frac 12]$erhalten Sie ungefähr $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$.
Der einzige Schritt für Nicht-Fußgänger in diesem Argument ist der Wechsel von der üblichen Summierung zur Cesaro-Summierung. Sie können es vermeiden, aber dann erhalten Sie stattdessen den Dirichlet-Kernel und der letzte Durchgang zum Limit ist etwas weniger offensichtlich (der Kernel zerfällt nicht gleichmäßig im Großteil des Intervalls, sondern schwingt dort und Ihnen immer schneller Am Ende wird so etwas wie das Riemann-Lebesgue-Lemma verwendet, um zu zeigen, dass Sie nur die (kleinen Nachbarschaften von) Endpunkten betrachten müssen.