Rechts invers genau dann, wenn auf

Aug 16 2020

Ich versuche das folgende Ergebnis zu beweisen.

Beweise das $f: X \to Y$ist genau dann auf, wenn es eine Rechtsumkehrung besitzt. Dann beweisen Sie, dass diese Umkehrung nicht unbedingt eindeutig ist (dh wann$f$ ist nicht injektiv).

Folgendes habe ich mir ausgedacht, obwohl insbesondere mein "Beweis" für die mangelnde Einzigartigkeit nicht sehr streng ist.

Beweis. Annehmen$f: X \to Y$ist surjektiv. Lassen$y \in Y$, also gibt es $x \in X$ so dass $f(x) = y$. Obwohl dies$x$ möglicherweise nicht eindeutig, definieren wir die Zuordnung $g: Y \to X$ nach der Regel $g(y) = x$unter Verwendung des Axioms der Wahl. Für solche$y$ mit der Eigenschaft, dass $g(y) = x$, wir haben: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ damit $f \circ g = i_Y$, und $g$ist eine Rechtsumkehrung. Nehmen wir umgekehrt an$f$ besitzt eine rechte Umkehrung, $g: Y \to X$ mit der Eigenschaft, dass $f \circ g = i_Y$. Lassen$y \in Y$. Dann$g(y) = x$ für einige $x \in X$. Dann beobachten wir das$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ damit $f$ist surjektiv. Diese Rechtsumkehrung ist nicht eindeutig, da wir das Axiom of Choice aufrufen mussten, um es zu definieren$g(y) = x$ für einige $x$. In dem Fall wo$f$ ist nicht injektiv, gegeben keine $y \in Y $gibt es möglicherweise unendlich viele $x$ so dass $f(x) = y$und wir könnten definieren $g(y)$ gleich einem dieser x zu sein, von denen jedes eine gleich gültige Rechtsumkehrung ergeben würde.

Wie sieht dieser Beweis aus? Ist dies eine angemessene Verwendung der Wahl? Gibt es eine Möglichkeit, den Beweis für mangelnde Einzigartigkeit strenger zu gestalten?

Danke im Voraus.

Antworten

2 AliasK Aug 16 2020 at 06:33

Ihr genau dann, wenn der Beweis für mich ziemlich gut aussieht. Ihr Nicht-Eindeutigkeits-Beweis ist jedoch etwas schwach.

Um die Eindeutigkeit zu beweisen, ist es ausreichend (und fast immer einfacher), sie anhand eines Beispiels zu zeigen. Sie können jedes Beispiel ausdenken, aber hier ist das erste, das mir in den Sinn kam.

Nehme an, dass $X=\mathbb{R}^2$ und $Y=\mathbb{R}$ mit $f:X\to Y$ Sein $f(x,y)=x$. Diese Funktion ist eindeutig aktiviert. Definieren Sie nun die folgende Karte$S_1:Y\to X$ durch $S_1(x)=(x,0)$. Es sollte nicht viel dauern, um Sie davon zu überzeugen$f(S_1(x))=i_Y$.

Dazu die Karte $S_2:Y\to X$ definiert von $S_2(x)=(x,x)$ wird auch geben $S_2(f(x))=i_Y$. Aber$S_1\neq S_2$ Wir haben also gezeigt, dass es zwei Funktionen gibt, die das gewünschte Ergebnis erzeugen, die nicht gleich sind (und daher muss die Umkehrung nicht eindeutig sein).