Rekonstruktionen von Gruppen aus der Kategorie $G-\mathbf{Sets}$;; Konstruktion eines Gruppenhomomorphismus [Duplikat]

Dec 30 2020

Ich versuche, einen Beweis für die folgende Aussage zu finden, finde es aber etwas schwierig. Ich hoffe, dass ich Hilfe von jemandem auf dieser Seite bekommen kann. Ich denke, das ist es, was sie auf Ncatlab - Tannakian Duality (in der Sektion) beweisen$G-\mathbf{Sets}$). Aber ich kann diesem Beweis nicht wirklich folgen:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

Erklärung. Lassen$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ sei der vergessliche Funktor, wo $G-\mathbf{Sets}$ ist die Kategorie von Sets, die mit einer Gruppenaktion der Gruppe ausgestattet sind $G$. Ich versuche den Beweis der folgenden Tatsache zu verstehen$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

Was habe ich getan

Ich habe es geschafft, eine Karte zu erstellen $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ Dies wurde durch die folgende Regel durchgeführt $\varphi(g)=\eta^g$, wo $\eta_S^g:S\to S$ ist definiert durch $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. Es ist einfach zu überprüfen, ob dies eine natürliche Transformation von ergibt$F$ zu $F$ und dass es auch ein Gruppenhomomorphismus ist.

Der andere Weg ist für mich jedoch problematischer. Ich möchte eine Karte finden$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ Das heißt, angesichts einer natürlichen Transformation $\eta$Ich möchte es einem Gruppenelement zuweisen $g\in G$.

Die natürliche Transformation $\eta$ wird durch das folgende kommutative Diagramm definiert $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ wo $\eta_X$ ist ein Morphismus in $\mathbf{Sets}$ und $f:X \to Y$ ist ein Morphismus in der Kategorie $G-\mathbf{Sets}$. Schon seit$F$ ist nur der vergessliche Funktor, reduziert sich das obige Diagramm auf $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Bedenken und Fragen

In der Definition der natürlichen Transformation - ich habe das - gegeben keine $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$ist ein Morphismus. Ein natürlicher$G-\text{Set}$ ist einfach zu nehmen $X=G$ und um es durch die Gruppenstruktur auf sich selbst einwirken zu lassen: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ So wird nun das kommutative Diagramm $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

Bemerkung 1. Ich erinnere mich, dass mir ein Professor gesagt hat, dass der Morphismus$\eta_G$ wird vollständig verstanden durch das, was es mit dem Identitätselement macht $e\in G$ (woraus ich verstehen sollte, wie man den Gruppenhomomorphismus konstruiert), $$e\mapsto \eta_G(e).$$

Ich verstehe nicht wirklich, was das oben genannte bedeutet. Ich glaube, ich habe etwas an dem vergesslichen Funktor falsch verstanden. Wenn ich an den vergesslichen Funktor denke$F:A\to B$Ich denke, dass der Funktor alles vergisst, was in vorhanden ist $A$, ist aber nicht vorhanden in $B$. In unserem Fall wird die Struktur von Gruppenaktionen vergessen. Und so kann ich insbesondere die Eigenschaft, ein zu sein, nicht nutzen$G$-äquivariante Karte. Nur die Eigenschaften einer satztheoretischen Karte.

Frage 1.

Wenn $\eta_G(e)=s$und wenn ich verstehen möchte, was der Professor mir gesagt hat, würde ich etwas wie folgt argumentieren $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$wo ich in der zweiten Gleichheit die Eigenschaft eines Gruppenhomomorphismus benutzte. Aber andererseits, wenn ich es als Gruppenhomomorphismus behandeln möchte, dann denke ich, dass ich es zuerst tun musste. Das ist,$\eta_G$muss Identitäten Identitäten zuordnen (um in meiner Argumentation konsistent zu sein). Ich denke, mein Argument schlägt fehl.

Meine Frage ist: Was meint er?

Ich denke nicht, dass das, was ich oben getan habe, irgendeinen Sinn ergibt. Aber ich glaube, ich habe andere gesehen, die die Eigenschaften der Morphismen in der Kategorie verwendet haben$A$Nachdem ich den vergesslichen Funktor angewendet hatte, daher meine Argumentation. Ich bin mir wieder nicht sicher, was ich tue. Ich kann mich also sehr gut irren.

Frage 2. Wie sagt mir das, wo ich eine natürliche Transformation abbilden soll?

Angenommen $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$, wo ordne ich es zu? Ordne ich es wie folgt zu?$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ Weiß ich dabei, dass ich ausführlich erklärt habe, wo jede natürliche Transformation abgebildet werden soll?

Frage 3. Ich denke, ich muss auch irgendwie das kommutative Diagramm bei der Definition der natürlichen Transformation verwenden, wenn ich den Gruppenhomomorphismus konstruiere, was ich nicht getan habe? Ich denke, mein Vorschlag oben ist nicht der richtige Weg, dies zu tun. Haben Sie Ideen, wie ich die Karte erstellen kann?

Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand auf dieser Website helfen könnte, dies besser zu verstehen. Weil ich wirklich verloren und verwirrt bin.

Besten Wünsche,

Joel

Antworten

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

Ich werde links verwenden $G$-Sätze, nicht richtig.

Frage 1 & 3 .

Du kannst nicht schreiben $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$nehmen wir nicht an $\eta_G:G\to G$ ist ein Gruppenhomomorphismus, nur dass es ein Morphismus von ist $G$-sets. Sie können das sagen$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ obwohl (was Sie in der Reihenfolge umkehren würden, wenn Sie auf richtigen Gruppenaktionen bestehen).

Betrachten Sie Ihr kommutatives Diagramm noch einmal:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

Hier können wir die Karte lassen $G\to Y$ sei die Bewertung bei$y$ Karte $g\mapsto gy$ wo $y\in Y$ ist fest (beachten Sie, dass die Bewertungskarte auch nützlich ist, um den Satz des Bahnstabilisators zu etablieren - seine Fasern sind Nebenmengen von $y$Stabilisator). Dann jagen wir das Diagramm ab$e\in G$ oben links.

Wenn wir dem oberen rechten Pfad folgen, erhalten wir $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. Im unteren linken Pfad$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. Deshalb können wir gleichsetzen$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. Das heißt, jeder Automorphismus$\eta$ angewendet auf a $G$-einstellen $Y$ wendet nur ein bestimmtes Gruppenelement an $\eta_G(e)\in G$.