Schwache Topologie des normierten Raums
Lassen $X,Y$ zwei normierte Räume sein und $T:X\rightarrow Y$ begrenzt linearer Operator sein. Jetzt betrachten $X,Y$mit schwacher Topologie. Meine Frage ist, dass das so ist$T$ Karten schwach kompakter Satz von $X$ zu schwach kompaktem Satz von $Y$ und die zweite Frage ist, dass dies der Fall ist $T$ bleibt eine kontinuierliche Karte, wenn wir ausrüsten $X,Y$ mit schwacher Topologie.
Antworten
Wenn $V$ ist ein Untergrundelement von $\tau_w$ im $Y$ enthält $0_Y$, dann gibt es eine funktionale $\phi:Y\to \mathbb F$ und $\epsilon>0$ so dass $V=\{y:\phi(y)<\epsilon\}$. Dann,$T^{-1}(V)=\{x:(\phi\circ T)(x)<\epsilon\}$. Jetzt$\phi\circ T:X\to \mathbb F$ ist also eine (norm-) stetige lineare Funktion $T^{-1}(V)$ ist schwach offen in $X$ und enthält $0_X$. Es folgt dem$T$ist schwach-schwach kontinuierlich. Dies gibt eine positive Antwort auf die zweite Frage, die wiederum eine positive Antwort auf die erste Frage gibt.
Diese Antwort liefert nichts Neues, aber ich denke, eine Erklärung in Bezug auf Sequenzen könnte klarer sein. Die Kompaktheitsfrage ergibt sich aus der Kontinuität von schwach zu schwach (die Implikation gilt für beliebige Topologien), daher reicht es aus, letztere zu zeigen.
Annehmen $\{x_n\}_n\rightharpoonup y$. Dann für alle$f\in X^*$, $\{f(x_n)\}_n\to f(y)$. Insbesondere jedes Dual der Form$g\circ T$, wo $g\in Y^*$wird befriedigen $$\{g(Tx_n)\}_n\to g(Ty)$$ Aber das ist gerecht $\{Tx_n\}_n\rightharpoonup Ty$.