Sei a, b und c ungerade positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass die quadratische Gleichung đ‘Žđ‘„ ^ 2 + đ‘đ‘„ + 𝑐 = 0 keine rationale Lösung hat. [Duplikat]

Nov 19 2020

Um dies zu beweisen, denke ich, sollte Δ =$k^2$ also lasse ich a = 2p-1, b = 2q-1, c = 2r-1, wobei p, q, r alle positive ganze Zahlen sind, dann habe ich berechnet $ b^2-4ac$ welches ist $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3$ und es fĂ€llt mir schwer, das zu beweisen $-16 p r + 8 p + 4 q^2 - 4 q + 8 r - 3 ≠ k^2$ also wie man Δ ≠ beweist $k^2$ und ist es möglich, eine Methode des Widerspruchs anzuwenden (lass eine Wurzel $x_0$= p / q und $gcd(p,q)=1$)

Antworten

cgss Nov 19 2020 at 21:28

Schritt 1: Wir zeigen, dass es entweder keine oder zwei rationale Lösungen gibt. Nehmen wir dann das Gegenteil an$x_1 \in \mathbb{Q}, x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Dann$x_1x_2 \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$, oder $-ac\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$. Widerspruch.

Schritt 2: Angenommen, es gibt zwei rationale Lösungen. So kann es geschrieben werden als:\begin{align*} (x - \frac{n_1}{m_1})(x - \frac{n_2}{m_2}) &= 0\\ (m_1x - n_1)(m_2x - n_2) &= 0 \\ m_1m_2x^2 - (n_1m_2 + n_2m_1)x + n_1n_2 &= 0 \end{align*}

Jetzt werde ich behaupten, dass wir fertig sind. Beachten Sie, dass wir auswĂ€hlen können$n_i, m_i$ so dass $\gcd(n_i, m_i) = 1$. Wir brauchen die Koeffizienten von$x$die gleiche ParitĂ€t haben. Wenn$m_1$ ist auch dann noch $n_2$ muss gerade sein was gibt $n_1m_2 + n_2m_1$seltsam. Das symmetrische Argument gilt, wenn$m_2$ist gerade. Schließlich, wenn beide$m$ sind dann ungerade $n$ sind aber jetzt seltsam $(n_1m_2 + n_2m_1)$ Trotzdem erreichen wir den geforderten Widerspruch.