„ $\Sigma_1^1$-Peano-Arithmetik ”- macht es fest $\mathbb{N}$?

Question

Lassen $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$sei die Theorie in der Logik zweiter Ordnung, die durch Erweiterung der üblichen Peano-Axiome erster Ordnung auf willkürliche Werte erhalten wird$\Sigma^1_1$Formeln im Induktionsschema. Meine Frage ist:

Tut $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ Haben Sie nicht standardmäßige Modelle?

Beachten Sie, dass ein Modell von $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ ist genau ein Modell von $\mathsf{PA}$ ohne (nicht trivial richtig) $\Sigma^1_1$-definierbare Schnitte.

Wenn wir ersetzen $\Sigma^1_1$ mit $\Pi^1_1$ Die Antwort ist sofort negativ, da die Menge der Standardelemente eines Modells von $\mathsf{PA}$ ist $\Pi^1_1$. Es scheint jedoch nichts Ähnliches zu funktionieren$\Sigma^1_1$ (obwohl mir leicht etwas Offensichtliches fehlen könnte).

Eine schnelle Beobachtung ist das $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$beinhaltet echte Arithmetik erster Ordnung . Gegeben eine Formel erster Ordnung$\varphi(x)$, Lassen $\hat{\varphi}(x)$ sei der $\Sigma^1_1$ Formel "Es gibt einen Schnitt mit $x$ so dass jedes Element des Schnitts erfüllt $\varphi$." Wenn $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ wir haben trivial $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$;; durch Induktion auf die Komplexität von$\varphi$ wir können das zeigen, wenn jede natürliche Standardzahl erfüllt $\varphi$ dann $0\in\hat{\varphi}^M$ und folglich $M\models\forall x\varphi(x)$ (was dann gibt $M\equiv\mathbb{N}$). Ich sehe jedoch nicht ein, wie ich dies verwenden kann, um Kategorisierung zu erhalten. In der Tat, soweit ich weiß, ist es möglich, dass zB jede nichttriviale Ultrapower von$\mathbb{N}$ befriedigt $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Beachten Sie, dass$\Sigma^1_1$Sätze bleiben unter Ultrapower erhalten; Ein Induktionsfall für a$\Sigma^1_1$ Formel ist $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ und $\Pi^1_1$ Sätze werden unter Ultrapower nicht erhalten, daher scheint dies nicht zu helfen.)

Answer 1

Wenn Sie Ihre erlauben $\Sigma^1_1$ Formeln, um Parameter zu haben, dann PA$_{\Sigma^1_1}$hat nur das Standardmodell. Verwenden Sie die, um dies zu beweisen$\Pi^1_1$ Definition der Standardität zur Herstellung von a $\Sigma^1_1$ Formel $\sigma(x,y)$ sagt, dass $x<y$ und $y-x$ ist nicht Standard, dh $x$ ist unendlich weit unten $y$. Das ist leicht zu zeigen$\sigma(x,y)$ impliziert $\sigma(x+1,y)$. Also von$\Sigma^1_1$ Induktion, wenn $\sigma(0,y)$ dann $\forall x\,\sigma(x,y)$ und besonders, $\sigma(y,y)$, was absurd ist. So$\neg\sigma(0,y)$. Das heißt aber$y$ ist Standard.