Sind die Elemente einer Lie-Algebra durch ihre endlichdimensionalen Darstellungen getrennt?
Lassen $\mathbb{k}$ sei ein Feld und lass $\mathfrak{g}$ sei ein $\mathbb{k}$-Lie Algebra.
Gibt es für jedes Element ungleich Null? $x$ von $\mathfrak{g}$ eine endlich dimensionale Darstellung von $\mathfrak{g}$ auf welche $x$ wirkt ungleich Null?
Mit anderen Worten, machen Sie die endlichdimensionalen Darstellungen von $\mathfrak{g}$ trenne die Elemente von $\mathfrak{g}$?
Wenn $\mathfrak{g}$ ist endlichdimensional, dann ist dies nach Ados Theorem wahr.
Wie in einer Antwort auf eine ähnliche Frage ausgeführt , sind die endlichdimensionalen Darstellungen von$\mathfrak{g}$ Trennen Sie sogar die Punkte in der universellen Hüllalgebra $\operatorname{U}(\mathfrak{g})$ wenn $\mathfrak{g}$ ist endlichdimensional und $\mathbb{k}$ist von charakteristischer Null. (Dies scheint Satz 2.5.7 in Dixmiers Hüllalgebren zu sein .)
Beide oben genannten Argumente zeigen noch stärkere Behauptungen, erfordern jedoch einige zusätzliche Annahmen und einiges an Arbeit.
Antworten
Die Wikipedia sagt, dass es keine endlichdimensionalen Darstellungen von (nicht trivialen) affinen Lie-Algebren gibt, was impliziert, dass das gewünschte Ergebnis falsch ist: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_Lie_algebra
Es gibt viele mögliche Antworten. Hier ist eine Bearbeitung: Hier sind einige :
Betrachten Sie die Lie-Algebra (über einem festen Feld der charakteristischen Null) mit Darstellung $$\mathfrak{g}=\langle x,y,z\mid [x,y]=y,\;[y,z]=z\rangle.$$
(1) Das ist leicht zu überprüfen $f(z)=0$ für jede endlich dimensionale Darstellung.
(2) Jedoch $z\neq 0$. Dies liegt daran, dass dies per Definition ein Amalgam zweier zweidimensionaler Lie-Algebren ist$\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$ und $\langle y,z\mid [y,z]=z\rangle$ die gemeinsame eindimensionale Subalgebra $Ky$und es ist bekannt (siehe Encyclopedia of Math. ), dass Subalgebren in ihr Amalgam eingebettet sind.
Für (1) ist es eine einfache Folge der Untersuchung endlichdimensionaler Darstellungen der zweidimensionalen nicht-abelschen Lie-Algebra $\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$, von denen wir annehmen können, dass sie sich über einem algebraisch geschlossenen Feld befinden. Jede solche Darstellung ist abgebildet$y$zu einer nicht potenten Matrix. Betrachten Sie nun eine endlich dimensionale Darstellung von$\mathfrak{g}$, Kartierung $x,y,z$ zu $X,Y,Z$.. Mit der ersten Subalgebra, $Y$ist nicht potent. Wir können auch die zweite Subalgebra als obere Dreiecksmatrizen wirken lassen, und$Z$ist nicht potent. Also beides$Y,Z$ sind streng oberes Dreieck und $[Y,Z]=Z$ Kräfte $Z=0$.
Ebenso können wir daraus schließen, dass das Analogon der Higman-Gruppe die Lie-Algebra ist $$\langle x_0,x_1,x_2,x_3\mid [x_{i-1},x_i]=x_i: i\in\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\rangle$$hat keine nicht triviale endlichdimensionale Darstellung. Ich denke, man kann mit Amalgamen (aber noch nicht überprüften Details) erläutern, dass es nicht trivial ist (daher unendlich dimensional).
$\DeclareMathOperator\h{\mathfrak{h}}$Hier ist nun ein Beispiel, das vollständig in sich geschlossen ist.
Betrachten Sie die Lie-Algebra $\h$ mit Basis $u$, $(e_n)_{n\in\mathbf{Z}}$, Gesetz $[e_i,e_j]=(i-j)e_{i+j}$, $[u,e_i]=ie_i$über einem Feld $K$ der Charakteristik Null.
Ich behaupte, dass jede endlich dimensionale Darstellung von $\h$ tötet alle $e_i$. Betrachten Sie in der Tat Operatoren$U$, $E_n$eines endlichdimensionalen Vektorraums, der die gleichen Beziehungen erfüllt. Schon seit$[U,E_n]=nE_n$, das $E_n$ sind in unterschiedlichen Eigenräumen für $\mathrm{ad}(U)$und damit die $KE_n$generieren ihre direkte Summe. Da die Dimension endlich ist, existiert sie$n$ so dass $E_n=0$. Dann für$m\neq 2n$, $E_m=\frac{1}{2n-m}[E_n,E_{m-n}]=0$. Im Gegenzug$E_{2n}=\frac{1}{2-2n}[E_1,E_{2n-1}]=0$, so $E_m=0$ für alle $m\in\mathbf{Z}$.
Eigentlich in diesem Beispiel die Subalgebra $\mathfrak{r}$ hat bereits die Eigenschaft, dass jede endlichdimensionale Darstellung trivial ist, aber ein etwas ausführlicheres Argument verwendet, das jedoch in willkürlichen Merkmalen funktioniert $\neq 2$.
Lassen $W_n$ sei der von erzeugte Unterraum $\{E_k:k\ge n\}$, und $W_\infty=\bigcap_n W_n$, so $W_\infty=W_n$ für groß genug $n$, sagen $n\ge n_0$. Dann$[E_n,W_\infty]=W_{\infty}$ für alle $n$.
Nehmen wir im Widerspruch an, dass $W_\infty\neq 0$. Wählen$n\ge n_0$. Nehmen Sie eine blockdiagonale Zerlegung von$E_n$. Dann die Summe$M$ von charakteristischen Teilräumen für Eigenwerte ungleich Null von $\mathrm{ad}(E_n)$besteht aus den Matrizen in dieser Blockzerlegung, deren diagonale Blöcke alle Null sind. Die Bedingung$[E_n,W_\infty]=W_\infty$ Kräfte $W_\infty\subset M$. Speziell,$E_n$hat diese Form. Aber per Definition$E_n$ist blockdiagonal. So$E_n=0$und das funktioniert für alle $n\ge n_0$.
So $W_{\infty}=0$, das ist, $E_n=0$ für alle großen $n$. Ähnlich$E_{-n}=0$ für alle großen $n$. Mit Kommutatoren leiten wir das ab$E_n=\frac{1}{n+2q}[E_{n+q},E_{-q}]=0$ (wählen $q$ so dass $n+2q\neq 0$ im $K$).