Sind Funktorkategorien mit triangulierten Codomänen selbst trianguliert?
Ich bin ziemlich sicher, dass die folgende Behauptung wahr ist (aber ich werde gestehen, dass ich das oktaedrische Axiom noch nicht verifiziert habe):
Lassen $T$ eine triangulierte Kategorie sein und $C$jede Kategorie (sagen wir klein, um meine Freunde als Theoretiker nicht zu beunruhigen). Dann die Kategorie der Funktoren$C \to T$ erbt eine natürliche triangulierte Struktur von T.
Mit "natürlich" und "erbt" meine ich die Shift Map $[1]$ auf unsere functor kategorie sendet jeder $F:C \to T$ zum Funktor $F[1]$ befriedigend $F[1](c) = F(c)[1]$ auf jedem Objekt $c$ von $C$;; und in ähnlicher Weise unterschiedene Dreiecke von Funktoren$$F \to G \to H \to F[1]$$ sind genau diejenigen, für die über jedes Objekt $c$ von $C$ Wir haben ein ausgeprägtes Dreieck in $T$ der Form $$F(c) \to G(c) \to H(c) \to F[1](c).$$
Die Hauptfrage ist, ob dies in einem Standardbuch oder Papier geschrieben wurde (ich konnte es zum Beispiel in Gelfand-Manin nicht finden). Vielleicht wird es als zu offensichtlich angesehen und in eine elementare Übung verbannt. Meistens bin ich daran interessiert, T-Strukturen und Herzen von zu erben$T$ zu Funktorkategorien $C \to T$und würde mich über jede verfügbare Referenz freuen, die sich mit solchen Angelegenheiten befasst.
Antworten
Die Aussage ist falsch.
Nehmen Sie zum Beispiel $C=[1]\times [1]$ ein Quadrat sein und $\mathcal{T} = h\mathsf{Sp}$die Homotopiekategorie der Spektren zu sein. Betrachten Sie nun das Quadrat$X$ mit $X(0,0) = S^2$, $X(1,0) = S^1$und die anderen Werte Null und das andere Quadrat $Y$ mit $Y(1,0) = S^1$ und $Y(1,1) = S^0$. Nimm die Karten$S^2 \to S^1$ und $S^1 \to S^0$ sein $\eta$und betrachten Sie die natürliche Transformation $X \to Y$ was durch Multiplikation mit 2 gegeben ist $X(1,0)=S^1 \to S^1 = Y(1,0)$.
Wenn diese Karte eine Cofaser hätte, würden wir vom anfänglichen bis zum endgültigen Scheitelpunkt eine Karte erhalten $S^3 \to S^0$. Wenn wir der Richtung des Quadrats 1 folgen, sehen wir, dass wir einen Vertreter für die Toda-Klammer haben würden$\langle \eta, 2, \eta\rangle$. Wenn wir der anderen Richtung folgen, faktorisieren wir durch Null. Aber diese Toda-Klammer besteht aus den Klassen$2\nu$ und $-2\nu$;; Insbesondere enthält es keine Null.
[Natürlich kann dieses Beispiel auf jedes nicht triviale Toda-Bracket- / Massey-Produkt in jeder Ihnen vertrauten triangulierten Kategorie verallgemeinert werden.]
In der Tat ist die Toda-Klammer genau das Hindernis für das „Ausfüllen des Würfels“ für die natürliche Transformation $X \to Y$.
Wie auch immer - dies ist einer von vielen Gründen, triangulierte Kategorien zugunsten einer der vielen modernen Alternativen (z. B. stabil) fallen zu lassen $\infty$-Kategorien, Derivate usw.).
Wie für T-Strukturen und so weiter, im Land des Stalls $\infty$-Kategorien diese sind leicht zu bekommen. (Siehe z. B. Abschnitt 1.2.1 der Höheren Algebra und Satz 1.4.4.11 für verschiedene Tricks zum Erstellen dieser.)
Dylan Wilsons Beispiel ist ausgezeichnet. Lassen Sie mich ein anderes anbieten, mit einem algebraischeren und "finitistischeren" Geschmack.
Meiner Meinung nach die einfachste triangulierte Kategorie $\mathcal{T}$ ist die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume über einem Feld $k$, mit Identity Suspension (auch bekannt als Übersetzung) Funktor und $3$-periodische lange exakte Sequenzen als exakte Dreiecke. (Dies ist tatsächlich die einzige triangulierte Struktur, die von getragen wird$\mathcal{T}$ bis zur Äquivalenz.)
Lassen $C_2$ sei die zyklische Ordnungsgruppe $2$(wird als Kategorie mit nur einem Objekt angesehen). Dann die Funktorkategorie$\mathcal{T}^{C_2}$ ist die Kategorie der endlich generierten Module über die Gruppenalgebra $k[C_2]$. Dies entspricht der Kategorie der endlich erzeugten projektiven Module über die sogenannte Auslander-Algebra$B$ von $k[C_2]$. Durch ein Ergebnis Freyd, wenn$\mathcal{T}^{C_2}$ wurden dann trianguliert $B$ wäre selbstinjektiv.
Wenn $k$ hat charakteristisch $2$, $k[C_2]\cong k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ ist die Algebra der doppelten Zahlen und $B$ ist die Endomorphismusalgebra der $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$-Modul $k\oplus k[\epsilon]/(\epsilon^2)$. Diese$B$ist nicht selbstinjektiv. In der Tat seit$k$ hat charakteristisch $2$, $k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ ist also nicht halb einfach $B$ hat globale Dimension $2$. Wenn$B$ Wäre es selbstinjektiv, hätte es auch eine globale Dimension $0$ oder $\infty$.
Ich glaube, ich habe ein einfacheres Gegenbeispiel, das ich im letzten Frühjahr aus Paul Balmers Kurs über Tensordreieckgeometrie gelernt habe:
Anspruch Die Pfeilkategorie$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ einer triangulierten Kategorie $\mathcal{T}$ hat niemals eine triangulierte Struktur, es sei denn$\mathcal{T} = 0$. Eigentlich brauchen wir nicht einmal$\mathcal{T}$ hier zu triangulieren: wenn $\mathcal{T}$ ist jede additive Kategorie, so dass $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ ist dann trianguliert $\mathcal{T} = 0$.
Beweis: Angenommen$\mathcal{T}$ ist eine additive Kategorie, so dass $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ist trianguliert. Lassen$a$ ein beliebiges Objekt sein in $\mathcal{T}$mit Identitätsmorphismus $1_a : a \to a$. Lassen$t$ bezeichnen den einzigartigen Morphismus $a \to 0$. Dann$\require{AMScd}$ \ begin {CD} a @> 1_a >> a \\ @V 1_a VV @VV t V \\ a @ >> t> 0 \ end {CD} definiert einen Morphismus$\alpha : 1_a \to t$ im $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$. Beachten Sie, dass$\alpha$ist ein Epimorphismus. In jeder triangulierten Kategorie sind alle Epimorphismen aufgeteilt$\beta : t \to 1_a$ eine Spaltung von sein $\alpha$ (das ist, $\alpha \circ \beta$ ist der Identitätsmorphismus von $t$). Dann$\beta$ist ein kommutatives Diagramm \ begin {CD} a @> t >> 0 \\ @V f VV @VVs V \\ a @ >> 1_a> a \ end {CD}, so dass$1_a \circ f = 1_a$ (und $t \circ s = 1_0$). Daraus und aus der Kommutativität des Diagramms sehen wir das$1_a = 1_a \circ f = s \circ t$ Faktoren durch $0$. So,$a = 0$. Schon seit$a$ war willkürlich, $\mathcal{T} = 0$.
Edit: Natürlich könnten wir die Aussage noch schwächer machen: das haben wir nur wirklich gebraucht $\mathcal{T}$hat ein Nullobjekt. Aber falls$\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ ist dann trianguliert $\mathcal{T}$ muss additiv sein, da es als additive Unterkategorie von eingebettet wird $\mathcal{T}^{\bullet \to \bullet}$ über $a \mapsto 1_a$.