Unerwartet einfache Muster für die Determinanten einiger Matrizen
Edit: "Spoiler"
Da es sich um eine ziemlich wortreiche Frage handelt, hier ein kurzer Spoiler ... Warum ist das Folgende wahr?
$$\det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} =\det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0& 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = \dots $$
Betrachten Sie die Matrix $$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}\,.$$ Es kann leicht bewertet werden, dass $\det A = 4$.
Im Allgemeinen ist es einfach (durch direkte Berechnung) zu zeigen, dass gegeben $x\in\mathbb{R}$ und definieren $$A(x) = \begin{pmatrix} x-1 & x & x+1 \\ x & x-1 & x \\ x+1 & x & x-1\end{pmatrix}$$ dann $\det A(x) = 4x$.
Die interessante Tatsache ist, dass diese Matrizen so "erweitert" werden können, dass die Determinante invariant ist. Zusätzlich scheint es für eine größere Klasse von Matrizen einige "einfache" reguläre Muster bezüglich der Determinante zu geben.
Einführung in eine Notation ...
Zuerst muss ich eine Notation einführen. Lassen$\mathbf{c} = \{c_1,c_2\dots c_n\}$. Ich werde bezeichnen$T(\mathbf{c})$ das $n\times n$ symmetrische Toeplix-Matrix, deren Haupt- und obere Diagonale durch die Koeffizienten gegeben sind $c_1\dots c_n$. Ich meine so etwas wie$$T(\{c_1,c_2,c_3,c_4\}) = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4\\c_2 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_2 & c_1 & c_2 \\ c_4 & c_3 & c_2 & c_1 \end{pmatrix}\,.$$
Wenn wir anrufen $\mathbf{v}(x) = \{x-1,x,x+1\}$, dann $A(x) = T(\mathbf{v}(x))$.
Schließlich gegeben a $n$-dimensionaler Vektor $\mathbf{c} = \{c_1\dots c_n\}$, Ich werde anrufen $\mathbf{c}^k$ das $(k\cdot n)$-dimensionaler Vektor erhalten zusammenfügen $k$ Kopien von $\mathbf{c}$. Zum Beispiel$$\{c_1,c_2,c_3,c_4\}^3 = \{c_1,c_2,c_3,c_4,c_1,c_2,c_3,c_4,c_1,c_2,c_3,c_4\}\,.$$
Die Hauptfrage
Das habe ich am Anfang gesagt $\det A(x) = 4x$. Mit der obigen Notation$\det T(\mathbf{v}(x)) = 4x$. Eigentlich scheint es wahr zu sein (zumindest für das, was ich mit Mathematica versucht habe), dass für alle positiven ganzen Zahlen$k$ $$\det T(\mathbf{v}^k(x)) = 4x\,.$$ Ich denke, dieses Ergebnis kann durch Induktion am bewiesen werden $k$, aber es scheint ein bisschen schmerzhaft zu sein. Ich würde einen einfachen und sauberen Beweis für ein so ordentliches Ergebnis erwarten.
Irgendwelche Ideen darüber, was los ist und warum die Determinanten so einfach sind?
Ein bisschen weiter gehen ...
Zu bemerken, dass die Dinge für so einfach waren $\mathbf{v}(x)=\{x-1,x,x+1\}$Das erste, was ich versucht habe, ist, mich leicht zu verändern $\mathbf{v}$. Lassen Sie uns nun überlegen$T(\{x-2,x-1,x,x+1,x+2\}^k)$. Leider werden die Dinge in diesem Fall viel komplizierter. Zum$k=1$ die Determinante ist $16 x$. Aber dann für$k=2$ es ist $113288 x$, zum $k=3$ $65157184 x$usw. Hier ist es eindeutig viel chaotischer.
Aber ... definieren wir $\mathbf{w}(x) = \{x+2,x-1,x,x+1,x-2\}$. Dann scheint die Reihenfolge der Determinanten sehr regelmäßig zu sein.
\begin{align} &\det T(\mathbf{w}(x)) = 16 x\\ &\det T(\mathbf{w}^2(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^3(x)) = 0\\ &\det T(\mathbf{w}^4(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^5(x)) = 16 x\\ &\det T(\mathbf{w}^6(x)) = -8 x\\ &\det T(\mathbf{w}^7(x)) = 0\\ &\det T(\mathbf{w}^8(x)) = -8 x \end{align}usw. Es gibt also ein klares Muster in der Abhängigkeit von$k$:: $$\{16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8, 16, -8, 0, -8,\dots\}\,.$$
Dann können wir uns ansehen $T(\{x-3,x+2,x-1,x,x+1,x-2,x+3\})$ und wieder gibt es ein Muster: $$\{64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, 12, 4, 0, 4, 12, 64, \dots\}\,.$$
Und wieder für $T(\{x+4,x-3,x+2,x-1,x,x+1,x-2,x+3,x-4\})$ ein neues Muster: $$\{256, -16, 0, -16, 0, -16, 0, -16, 256, -16, 0, -16, 0, -16, 0, -16, 256, -16, 0, -16,\dots\}\,.$$
Ich würde auf die Existenz einer einfachen Erklärung für diese Muster wetten, aber im Moment habe ich wirklich keine Ahnung. Irgendwelche Ideen?
Antworten
Ich werde mich konzentrieren $\mathbf v$, aber die Erklärung gilt für $\mathbf w$auch. Beachten Sie, dass wir schreiben können$$ T(\mathbf v^k(x)) = xJ + T(\mathbf v^k(0)), $$ wo $J$ ist die Matrix von allen $1$s. Das ist,$J = \mathbf e \mathbf e^T$, wo $\mathbf e = (1,\dots,1)^T$. Beachten Sie, dass in allen Fällen, die Sie berücksichtigen,$T_0$hat eine Zeilensumme von Null und ist daher nicht invertierbar. Nun, mit dem Matrix-Determinanten-Lemma finden wir das$$ \det[T(\mathbf v^k(x))] = \det(T_0) + (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) \cdot x = (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) \cdot x. $$ Mit anderen Worten, es ist immer gleich einer Konstanten multipliziert mit $x$.
In der Tat können wir ein bisschen mehr sagen: in dem Fall, wo $\operatorname{adj}(T_0) \neq 0$, $T_0$ muss eine symmetrische Matrix sein, deren Kernel überspannt wird $\mathbf e$. Daraus folgt, dass wir schreiben können$$ \operatorname{adj}(T_0) = \alpha \frac{\mathbf e\mathbf e^T}{\mathbf e^T\mathbf e} = \frac{\alpha}{kn} \mathbf e\mathbf e^T, $$ wo $\alpha$ ist das Produkt der Nicht-Null-Eigenwerte von $T_0$. Für eine direkte Berechnung sehen wir das$\alpha/(kn)$ist der Eintrag unten rechts im Adjugat. Nach der Cofaktorformel für das Adjugat ist dies die Determinante der symmetrischen Toeplitz-Matrix, die durch Löschen der letzten Zeile und Spalte von erreicht wird$T_0$.
Sobald dies festgestellt ist, stellen wir fest, dass $$ (\mathbf e^T\operatorname{adj}(T_0) \mathbf e) = \frac{\alpha}{kn} (\mathbf e^T\mathbf e \mathbf e^T \mathbf e) = \alpha kn, $$ Damit wird unsere Gesamtformel $T(\mathbf v^k(x)) = (\alpha kn)\cdot x$.
Für jeden Vektor $\mathbf v = (v_1,\dots,v_n)$bezeichnen den abgeschnittenen Vektor $[\mathbf v] = (v_1,\dots,v_{n-1})$. Mit dem oben Gesagten haben wir Ihre Beobachtungen der Regelmäßigkeit auf die Berechnung der Determinanten von reduziert$\det T([\mathbf v^k(0)])$ und $\det T([\mathbf w^k(0)])$.