Ungewöhnliche Definition des Cantor-Sets

Aug 15 2020

Ich habe mehrere Definitionen von Kantorsätzen gesehen, aber sie sehen alle anders aus als meine. Mein Buch definiert einen Kantorsatz als:

Die Menge aller reellen Zahlen des Formulars $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}3^{-n}$ wo $a_{n}$ nimmt den einen oder anderen der Werte an $0$ oder $2$.

Wie ist das ein Set? Ich verstehe nicht, was sie mit "wo" meinen$a_{n}$ nimmt den einen oder anderen der Werte an $0$ oder $2$"Bedeutet das das? $a_{n}$ abwechselnd wie $0$, $2$, $0$, $2$? Könntet ihr mir einige Werte in diesem Set geben? Und was hat das mit diesem Bild zu tun, das ich überall sehe?

Antworten

MiloBrandt Aug 15 2020 at 20:47

Ihr Buch bedeutet, dass der Kantorsatz der Satz von Zahlen ist $x$ das ist möglich in das Formular zu schreiben $\sum_{n=1}^{\infty}a_n3^{-n}$ für eine Sequenz $a_n$ wo jeder $a_n$ entweder $0$ oder $2$. Etwas weniger dicht könnte man auch sagen:

  • Eine Nummer in $[0,1]$ ist in der Cantor-Menge, wenn es als die doppelte Summe der verschiedenen Potenzen von geschrieben werden kann $3$.

  • Eine Zahl $x$ im $[0,1]$ befindet sich im Cantor-Set, wenn es eine ternäre Erweiterung hat, die niemals a verwendet $1$. (Dies ist das Gleiche wie oben, wenn man erkennt, dass ternäre Erweiterungen nur "einen Dezimalpunkt und dann eine Reihe von Zahlen schreiben"$\{0,1,2\}$ und betrachten Sie die Summe der $n^{th}$ Laufzeit $3^{-n}$ über alles $n$")

Das Besondere $x$ wo $a_n$ wechselt zwischen $0$ und $2$ ist also im Cantor-Set (dies $x$ gleich $1/4$), aber es gibt unzählige andere Sequenzen $a_n$ deren einzige Werte sind $0$ und $2$, die alle unterschiedliche Elemente des Cantor-Sets ergeben.

Das Bild, das Sie zeigen, zeigt das Erstellen derselben Menge, indem Sie ein Intervall nehmen und wiederholt das mittlere Drittel jedes Intervalls entfernen. Dies ergibt eine Folge von Mengen, die immer kleiner werden - und der Schnittpunkt all dieser Mengen ist die Cantor-Menge und genau dieselbe Menge, die Ihr Buch definiert. Die Äquivalenz ist bei ternären Erweiterungen am deutlichsten:

Zuerst haben Sie das Intervall $[0,1]$. Sie entfernen dann das Intervall$(1/3,2/3)$ denn der erste Term ihrer ternären Expansion muss sein $.1\ldots_3$Dies bedeutet, dass sie nicht in der gewünschten Form geschrieben werden können. Dann entfernen Sie$(1/9,2/9)$ und $(7/9,8/9)$ deren ternäre Erweiterungen beginnen $.01\ldots_3$ und $.21\ldots_3$ denn während ihre erste Ziffer in Ordnung ist (Sein $0$ oder $2$) ist ihre zweite Ziffer nicht. Sie würden dann die Nummern entfernen, deren ternäre Erweiterungen beginnen$.001\ldots_3$ oder $.021\ldots_3$ oder $.201\ldots_3$ oder $.221\ldots_3$ und so weiter - und die einzigen Zahlen am Ende wären diejenigen, die mit einer ternären Erweiterung geschrieben werden können, die nur enthält $0$und $2$'s - das ist genau die Menge von Zahlen, die in der Form geschrieben werden können, die Ihr Buch setzt.