Universelle Verallgemeinerung ( $\forall$ - ICH)
Mit dieser Abzugsregel muss in der Prämisse der Regel: Der Begriff, der für eine Variable ersetzt werden soll, willkürlich sein (siehe willkürlich d$\in$ D).
Was ist willkürlich und nicht willkürlich?
- $ P(a) \quad\quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: a/x$
Wäre der Begriff John nicht willkürlich und damit Zeile 2 falsch?
- $ P(john) \quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: john/x$
Antworten
Zunächst hoffe ich, dass Sie die Intuition dahinter verstehen:
Nur weil ein bestimmtes Objekt eine Eigenschaft hat, bedeutet dies natürlich nicht, dass alle Objekte aus der Domäne diese Eigenschaft haben.
Wenn jedoch ein beliebiges Objekt aus der Domäne eine Eigenschaft hat, tun dies alle Objekte.
Und um ganz klar zu sein: Mit "willkürlichem" Objekt meinen wir: Wir wissen und haben nichts über dieses Objekt angenommen, außer dass es ein Objekt aus der Domäne ist.
Wie genau dies in einem bestimmten formalen System formalisiert wird, hängt von vielen formalen Details ab. In einigen Systemen werden Variablen verwendet, um beliebige Objekte zu bezeichnen, in anderen Systemen werden jedoch "temporäre Konstanten" verwendet, typischerweise in Kombination mit bestimmten Arten von Subproofs.
Also, wenn Sie mich fragen, ob Sie sich bewerben können $\forall \ I$ ableiten $\forall x \ P(x)$ von $P(John)$Das kann ich wirklich nicht beantworten. Alles hängt von den Besonderheiten des von Ihnen verwendeten Systems ab.
Das $(\forall \text I)$Regel ist:
wenn $\Gamma \vdash \varphi[x/a]$, dann $\Gamma \vdash \forall x \varphi$, vorausgesetzt dieser Parameter $a$a ist „frisch“ in dem Sinne, dass es keine anderen Vorkommen in gibt $\Gamma , \varphi$
Der Vorbehalt steht im Einklang mit der intuitiven Bedeutung der Regel: wenn $\varphi$ hält von einem Objekt $a$ was auch immer, dann hält es von jedem Objekt.
Der Vorbehalt wird benötigt, um den Irrtum zu vermeiden: Johannes ist ein Philosoph, daher ist alles ein Philosoph.
In Ihrem falschen Beweis oben haben Sie genau diesen Irrtum begangen: den Parameter $a$ [in Ihrem Fall: John] darf nicht in vorkommen $\Gamma$. In deinem Fall$\Gamma = \{ P(\text {John}) \}$.
Zusammenfassend lautet das Problem: Wie können Sie das beweisen? $\vdash P(\text {John})$?
Beispiel: Betrachten Sie die Sprache erster Ordnung der Arithmetik mit einzelnen Konstanten $0$ und $1$ und lass $\mathsf {PA}$die Sammlung des Peano-Axioms erster Ordnung .
Wir haben: $\mathsf {PA} \vdash (0 \ne 1)$,
Jetzt bewerben $(\forall \text I)$ dazu mit $0$ wie $\text {John}$schließen wir mit: $\mathsf {PA} \vdash \forall x (x \ne 1)$.
Wo ist der Fehler ?