Untergruppe von finden $S_5$ isomorph zum Quaternion $Q$ [Duplikat]
Ich versuche dieses Problem aus meinem Kurs über abstrakte Algebra zu lösen:
Finden Sie eine Untergruppe von $S_5$ (Symmetrische Gruppe der Ordnung 5) isomorph zur Quaternionsgruppe $Q$.
Ich fing an, die Elemente von aufzuschreiben $Q$ Um einige Beispiele auszuprobieren und festzustellen, ob die Quaternionseigenschaften überprüft wurden: $$Q=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm j\}.$$ Offensichtlich das Element $1$ ist $(1)(2)(3)(4)(5)$ im $S_5$.
Dann habe ich versucht mit: $$i=(1234)(5)\ \ , \ \ -i=(1432)(5).$$
Beide überprüfen, ob sie Ordnung haben $5$und von ihnen bekomme ich $-1=(13)(24)(5)$. Jetzt stecke ich fest, da ich denke, ich wähle falsche Elemente aus, weil ich keine guten Elemente dafür finde$\pm j$ und $\pm k$. Was ist der einfachste Weg, um diese Art von Problem zu lösen, wenn Sie aufgefordert werden, eine Untergruppe zu finden, die für eine bestimmte Gruppe isomorph ist?
Jede Hilfe wird geschätzt.
Antworten
Dies wird nicht möglich sein. Die kleinste treue Permutationsaktion von$Q_8$ist die reguläre. Das heißt, die kleinste symmetrische Gruppe enthält$Q_8$ als Untergruppe ist $S_8$.
Um dies zu sehen, beachten Sie, ob es eine Untergruppe gibt $H\subseteq S_n$ isomorph zu $Q_8$, dann $X=\{1,\cdots,n\}$ trägt eine Gruppenaktion von $H$. Nach dem Orbit-Stabilisator-Theorem muss diese Aktion, wenn sie transitiv ist, einer Aktion auf einem Coset-Raum entsprechen$H/K$, was äquivalent zu ist $Q_8$ Einwirken auf $Q_8/N$ für eine Untergruppe $N\le Q_8$. Aber jede Untergruppe von$Q_8$ ist durch Inspektion normal, daher wären solche Gruppenaktionen untreu, es sei denn, der Kernel $N$ist trivial. Wenn$X$ ist nicht transitiv, dann ist es eine Vereinigung von unregelmäßigen Bahnen, sondern da jede richtige Untergruppe von $Q_8$ enthält das zentrale Element $-1$, wir wissen $-1$ muss im Kern dieser Aktion sein, also ist es wieder nicht treu.
Alternativ können wir finden $2$-Sylow Untergruppen von $S_n$ und vergleichen mit $Q_8$. Immerhin, wenn$S_n$ enthielt eine isomorphe Kopie von $Q_8$, dann müsste es in a enthalten sein $2$- Mindestens eine geringe Größe $2^3$. Zum$n=4$ und damit auch $n=5$ das $2$-Sylow ist die Diedergruppe $D_8$ der Ordnung $2^3$ das ist nicht isomorph zu $Q_8$. In der Tat für$n=6$ und damit auch $n=7$ das $2$-Sylow ist $D_8\times C_2$ (Enthalten in $S_4\times S_2$), die kein Paar nicht pendelnder Involutionen hat, die eine Kopie von erzeugen $Q_8$.
So $S_8$ ist die kleinste symmetrische Gruppe, die enthält $Q_8$ (Dies ist die Permutationsdarstellung, die die linke reguläre Aktion bietet, wie sie im Cayley-Theorem verwendet wird).