USAMO Problemhinweis.
Man beweise, dass für jede positive ganze Zahl n eine durch 5 teilbare n-stellige Zahl existiert$^n$Alle Ziffern sind ungerade.
USAMO 2003.
Dies ist das erste Mal, dass ich ein Problem wie dieses sehe, daher bin ich mir nicht sicher, was ich tun soll. Induktion, Konstruktion, Überprüfung kleiner Fälle, Widerspruch sind einige der Dinge, die ich versucht habe.
Ich weiß, dass ich überall leicht eine Lösung finden kann, aber ich möchte keine Lösung suchen, also geben Sie bitte TIPPS .
Ich habe eine Lösung veröffentlicht https://math.stackexchange.com/questions/3918561/usamo-problem-solution HIER, BITTE PRÜFEN SIE ES.
Bitte geben Sie nicht die vollständige Lösung an, wir würden uns über Hinweise freuen.
Antworten
Hinweis: Nehmen wir an, Sie haben nach Lulus Kommentar eine Zahl gebildet $N$ mit $n-1$ ungerade Ziffern teilbar durch $5^{n-1}$. Schreiben wir diese Nummer als$N = p\cdot5^{n-1}$. Dann möchten Sie eine ungerade Ziffer finden$a$ so dass $a\cdot10^{n-1}+ p\cdot5^{n-1} = k\cdot5^n$ für eine ganze Zahl $k > 0$. Dies ist wahr, wenn$5 | (a\cdot2^{n-1}+p)$. Schreiben$a = 2m+1$Können Sie beweisen, dass wir immer finden können $m$? Ebenfalls$m$ ist mod $5$, und daher $a$ ist eine Ziffer.
Der Basisfall ist offensichtlich.