Verhältnisse von Polynomen und Derivaten unter einer bestimmten Funktion

Question

Lassen $p(x)$ ein Polynom des Grades sein $n>2$mit Wurzeln $x_1,x_2,\dots,x_n$(einschließlich Multiplizitäten). Lassen$m$sei eine positive gerade ganze Zahl. Definieren Sie die folgende Zuordnung$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

FRAGE. Zum$\deg p(x)=n>2$ und $p'(x)$ seine Ableitung, können Sie ausdrücken $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ als Funktion von $m$ und $n$ allein?

Anmerkung. Auf Anregung von Fedors Fragen habe ich das als Schaufenster berechnet (nicht bewiesen)$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Answer 1

Hier ist ein SageMath Code , der eine Funktion bietet V(m)Computing$V_m(p)$ in Bezug auf elementare symmetrische Funktionen von $x_1,\dots,x_n$ (dh Koeffizienten von $p$).

Zum Beispiel wenn $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, dann $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ und so weiter.

Aus diesen Ausdrücken ein Beweis für $m=2$folgt sofort. Allerdings für größere$m$ das Verhältnis $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ scheint keine Funktion von zu sein $n$, für die ich rechnerisch getestet habe $m$ bis zu $20$.

Answer 2

Wenn dies wahr wäre, $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ würde auch nur davon abhängen $m$ und $n=\deg p$und so weiter, bis wir bekommen $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Wir haben$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Wenn dies wahr wäre, hätten wir es getan $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Das ist schon falsch für$n=m=4$: wenn alle Wurzeln von $p$ sind Nullen und Einsen, die wir haben $V_4=V_2$, aber $V_2^2/V_4=V_2$ ist nicht behoben.