Verstehe nicht, wie dieses gemeinsame PDF funktioniert

Aug 16 2020

Diese Frage stammt aus MIT 6.041 OCW.

Ich verstehe Teil b dieser Frage nicht, insbesondere wie$f_X(x)$und$f_{Y|X}(y|0.5)$werden berechnet.

So wie ich das verstehe, erhält man das Marginal-PDF durch Einbinden des Joint-PDFs, dh$f_X(x)=\int f_{X,Y}(x,y) dy$.

Das führt schon zu vielen Verwirrungen:

  1. Es gibt laut Diagramm zwei$f_{X,Y}(x,y)$:$1/2$und$3/2$. Wenn wir also diese beiden integrieren, erhalten wir$\frac{1}{2}y$und$\frac{3}{2}y$bzw. - also welche soll es sein$f_X(x)$? Und ist$f_X(x)$bezüglich$y$sogar legitim?

  2. Die Lösung besagt$f_X(x)$bezüglich$x$, aber wenn wir integrieren$f_{X,Y}(x,y)$bezüglich$y$, wie konnten wir bekommen$x$?

Lösung für$f_{Y|X}(y|0.5)$ist noch seltsamer; Bekommt ein einzelner Punkt kein Null-PDF, weil ein Punkt keine Fläche hat? Also, wie ist es möglich, darüber zu sprechen$X=0.5$an erster Stelle, geschweige denn, ein Ereignis mit einer Wahrscheinlichkeit von Null als Nenner zuzulassen?

Antworten

3 BrianTung Aug 19 2020 at 12:24

Die fraglichen Integrale sind bestimmte Integrale, keine Stammfunktionen. Zum Beispiel,

$$ f_X(x) = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy $$

Angesichts dessen

$$ f_{X, Y}(x, y) = \begin{cases} \frac12 & 0 < x < 1, 0 < y < x \\ \frac32 & 1 < x < 2, 0 < y < 2-x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

wir bekommen z$0 < x < 1$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^x \frac{dy}{2} \\ & = \left. \frac{y}{2} \right]_{y=0}^x \\ & = \frac{x}{2} \end{align}

und für$1 < x < 2$,

\begin{align} f_X(x) & = \int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, y) \, dy \\ & = \int_{y=0}^{2-x} \frac{3 \, dy}{2} \\ & = \left. \frac{3y}{2} \right]_{y=0}^{2-x} \\ & = 3-\frac{3x}{2} \end{align}

Für die anderen haben wir

$$ f_{Y \mid X}(y \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(0.5, y)} {\int_{y=-\infty}^\infty f_{X, Y}(0.5, y) \, dy} $$

und

$$ f_{X \mid Y}(x \mid 0.5) = \frac{f_{X, Y}(x, 0.5)} {\int_{x=-\infty}^\infty f_{X, Y}(x, 0.5) \, dx} $$

Beachten Sie, dass die Auswertung des letzten die Integration einer stückweisen konstanten Funktion erfordert.