Verstehen der Aussage und des Beweises von Bertinis Theorem in Griffiths und Harris

Question

Ich habe Probleme, die Aussage und den Beweis von Bertinis Theorem im Buch von Griffiths & Harris (S.$137$). Ehrlich gesagt verstehe ich kein Wort, selbst nachdem ich mehrere Antworten im Stapel gelesen habe. Der Satz ist

Das generische Element eines linearen Systems ist vom Basisort des Systems weg glatt.

Erste Frage . Bezieht sich die obige Aussage auf lineare allgemeine Linienbündel und nicht nur auf Linienbündel, die Teilern zugeordnet sind?

Soweit ich sagen kann, bezieht es sich auf ein lineares System eines Linienbündels, das einem Divisor zugeordnet ist. Sag mir, wenn ich falsch liege.

Zweite Frage . Was ist das generische Element? Oder was ist der generische Bleistift?

Im Beweis beginnen die Autoren mit „ Wenn das generische Element eines linearen Systems singulär vom Basisort des Systems entfernt ist, dann gilt dasselbe für einen im System enthaltenen generischen Bleistift; somit genügt es, Bertini zu beweisen ein Bleistift. "

Dritte Frage . Was bedeutet der obige Satz genau?

Nun nehme an$\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ist ein Bleistift

Vierte Frage . Warum schreiben die Autoren$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Was tun$f,g$meinst du hier?

Die letzte Frage bezieht sich auf den Grad einer Sorte (S.$171$).

Bertini angewendet auf den glatten Ort von$V$das Generikum$(n-k)$-Flugzeug$\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$wird sich schneiden$V$quer und so treffen$V$in genau$\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$Punkte.

Letzte Frage . Was ist generisch$(n-k)$-Flugzeug? Warum schneidet es sich in diesem Fall?$V$quer?

Answer 1

1. In Ihrer Umgebung (einer komplexen Mannigfaltigkeit) stammen alle Linienbündel aus Teilern und umgekehrt.

2. Ein generisches Element eines linearen Systems bedeutet, dass in der$\mathbb P^r$Elemente dieses linearen Systems parametrisieren, betrachten wir eine dichte offene Teilmenge davon$\mathbb P^r$. Generische Elemente sind solche, die durch einen Punkt in dieser dichten Öffnung parametrisiert sind. Ein generischer Stift, der in ähnlicher Weise durch einen Punkt in einer dichten Öffnung des Grassmannian parametrisiert ist$G(2,r+1)$von$2$-dimensionale Unterräume von$H^0(L)$(wo$L$ist das Leitungsbündel).

3. Der Satz besagt, dass jedes "schlechte" Verhalten in einem Bleistift auftritt, sodass wir uns keine Sorgen um höherdimensionale lineare Systeme machen müssen.

4. Sie meinen$f,g \in H^0(L)$, also lineare Kombinationen von nehmen$f$und$g$ergibt einen Bleistift.

5. Eine generische Ebene wird durch eine dichte offene Teilmenge der entsprechenden Grassmann-Funktion parametrisiert. Die Transversalität liegt daran, dass Transversalität ein offener Zustand ist.