Verwenden von Differentialen (keine partiellen Ableitungen), um zu beweisen, dass d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [Duplikat]

Jan 12 2021

Ich versuche, die Teile jeder Komponente der inversen Matrix im angehängten Bild zu beweisen. Ich habe versucht, Differentiale zu verwenden und dann nach den anderen Komponenten zu suchen. (Ich würde es gerne so lösen). Der Versuch, zum Beispiel zu lösen,$\frac{d\theta}{dx}$ (unten links in der inversen Matrix [unten angefügt]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Dann beobachten wir, dass wir halten $r = constant$also $dr = 0$. ich verstehe das$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, was nah ist. Ich habe das in einen Teilrechner gelegt und gemacht$\theta$ eine Funktion von x und r, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Nehmen Sie die$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Ich bekomme die richtige Antwort, weil r eine Funktion von x und y ist. Wenn ich das benutze$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ und nimm den Teil, den ich bekomme, was ich oben angegeben habe ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). Auch ich habe versucht, dr in zu ersetzen$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ durch die Nutzung $r^2=x^2+y^2$ durch Ersetzen von dr durch $rdr = xdx + ydy$wo ich angenommen habe, dass dy konstant ist. Was mir die falsche Antwort gab. Ich möchte mein logisches Denken verbessern, damit jeder Rat, was ich getan habe, auch großartig wäre. Vielen Dank!

Zusammenfassung: Ich versuche dies mit Differentialen (nicht Partials) zu beweisen $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$

Antworten

2 TedShifrin Jan 13 2021 at 03:14

Das Problem ist, dass Sie nicht einfach schreiben können $\frac{d\theta}{dx}$. In der Thermodynamik gibt es eine Notation, die wirklich nützlich und wichtig ist. Sie schreiben partielle Ableitungen mit einem Index, um anzugeben, welche Variablen fest bleiben. Also zum Beispiel, wenn wir haben$z=f(x,y)$ und wir wollen die Ableitung von finden $f$ in Gedenken an $x$, fixieren $y$, wir schreiben $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Dies ist wichtig, da möglicherweise viele Variablen herumfliegen und es wichtig ist zu wissen, welche Variablen fest sind.

In Ihrem Beispiel können wir uns vorstellen $(x,y)$ als Funktionen von $(r,\theta)$. Dann, wenn wir schreiben$\partial x/\partial\theta$bedeutet dies normalerweise $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Wenn Sie reparieren$r$dann wird es wahr (weil wir im Wesentlichen eindimensionale Berechnungen durchführen), dass $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Sie verwirren jedoch die Dinge, indem Sie stattdessen versuchen, zu berechnen $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$und das sind zwei völlig verschiedene Tiere. Sie müssen wirklich vorsichtig sein, wenn Sie die unabhängigen Variablen im Auge behalten. Wenn Sie diese ändern, kommt mehr Kettenregel herein.

Nur um es noch einmal zu wiederholen, Sie versuchen zu vergleichen \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}

Übrigens, seien Sie gewarnt. Im Allgemeinen haben wir nicht$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. In der Tat seit$x=r\cos\theta$, wir haben $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (welches ist $-y$). Auf der anderen Seite seit$\theta =\arctan(y/x)$ (Zumindest für $-\pi/2<\theta<\pi/2$), wir haben $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, was sehr verschieden ist von $-y$. Dies ist dein$-\sin\theta/r$, natürlich. Die richtige Beziehung ergibt sich aus den vollständigen abgeleiteten Matrizen (Jacobi genannt), die invers sind$2\times 2$ Matrizen.

Sie können dies alles korrekt mit Differentialen tun (tatsächlich Differentialformen), aber Sie müssen immer noch verfolgen, wer die unabhängigen Variablen sind. Und Sie müssen wirklich aufhören, Dinge wie zu schreiben$d\theta/dx$ es sei denn $\theta$ist wirklich eine Funktion nur einer Variablen$x$. Um Ihre erste Formel zu erhalten, müssten Sie schreiben$d\theta$ in Bezug auf gerecht $dx$ und $dr$;; Um die Sekunde zu bekommen, müsste man schreiben$d\theta$ in Bezug auf das Übliche $dx$ und $dy$. Es ist nur eine Frage dessen , was die unabhängige Variable s sind.