Verwirrung bei der analytischen Fortsetzung.

Dec 08 2020

Die Definition der analytischen Fortsetzung der holomorphen Funktion lautet wie folgt:

Lassen$f_{1}$und$f_{2}$zwei analytische Funktionen auf zwei Domänen sein (offen und verbunden)$\Omega_{1}$und$\Omega_{2}$so dass$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Wenn$f_{1}$und$f_{2}$zustimmen$\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, wir sagen$f_{2}$ist die analytische Fortsetzung von$f_{1}$an$\Omega_{2}$, und umgekehrt.

Eine kleinere Version davon ist die:

Wenn$f$ist analytisch auf einer Domäne$D\subset\mathbb{C}$und$F$ist analytisch auf einem größeren Gebiet$E\subset\mathbb{C}$so dass$f=F$an$D\subset E,$dann$F$ist die analytische Fortsetzung von$f$an$E$.

Nach dem, was ich gelesen habe, ermöglicht uns diese Art von Technik, eine Funktion in einem kleineren Bereich zu definieren und sie analytisch auf einen größeren Bereich auszudehnen. Aber ich verstehe nicht, warum diese Definition uns das erlaubt.

Was mich verwirrt ist, dass die Definition nur garantiert$f=F$auf der Kreuzung$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, also evtl$f\neq F$an$\Omega_{2}$, woher weiß ich dann$f$ist analytisch an$\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?

Ich habe versucht, den Identitätssatz wie folgt anzuwenden:

Lassen$f$und$g$seien zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet$D$so dass$f=g$auf einer Teilmenge$S\subset D$die einen Grenzpunkt enthält, dann$f=g$im Großen und Ganzen$D$.

Aber das scheint rückständig. Durch die Hypothese der analytischen Fortsetzung haben wir nur$f=g$an$S$, und$g$ist analytisch an$D$, wir wissen nicht wirklich, ob$f$ist insgesamt analytisch$D$(Das ist der Zweck der analytischen Fortsetzung, richtig? zu erweitern$f$analytisch zum Ganzen$D$.)

Überdenke ich das und verwirre mich?? Ich schätze, wir hätten sagen sollen$f_{1}=f_{2}$im Großen und Ganzen$\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll.

Bearbeiten 1: (Einige Klarstellungen, mögliche Antworten und Referenzen)

Es tut mir leid, wenn ich eine verwirrende (schlechte) Frage stelle. Meine Verwirrung besteht darin, dass, obwohl die analytische Fortsetzung existiert, ich glaube, dass dies nichts Hilfreiches bedeutet. Es gibt uns nur eine analytische Funktion$F$auf einer größeren Domain$\Omega_{2}$so dass$F|_{\Omega_{1}}=f$zum$\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Aber es sagt nichts darüber aus$f$,$f$ist noch drin$\Omega_{1}$. Daher verstehe ich nicht, warum die analytische Fortsetzung den Bereich auf welche erweitern kann$f$ist analytisch.

Das Buch "Complex Analysis and Applications" von Hemant Kumar Pathak enthält ein Kapitel über analytische Fortsetzung.

Wie Jose vorgeschlagen hat, macht es keinen Sinn zu sagen$f=F$an$\Omega_{2}$, da$f$ist an$\Omega_{1}$.

Das Buch erklärt, dass, wenn wir eine analytische Fortsetzung von haben$f_{1}$von$\Omega_{1}$hinein$\Omega_{2}$über$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, dann der Gesamtwert von$f_{1}$in$\Omega_{1}$und$f_{2}$in$\Omega_{2}$kann als eine einzige Funktion betrachtet werden$f(z)$analytisch ein$D_{1}\cup D_{2}$so dass$$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$

Dies klärt die Dinge tatsächlich. So haben wir es gemacht, als wir die Singularität entfernen wollten: if$f_{1}$hat eine entfernbare Singularität bei$z_{0}$, dann verlängern wir tatsächlich$f_{1}$zu$f$durch Definieren$$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$

Wir verlängern also tatsächlich$f_{1}(z)$zu$f(z)$, nicht zu$f_{2}(z)$. Wir sind irgendwie komplett$f_{1}(z)$hinein$\Omega_{2}$durch Definieren$f(z)$.

Ich hoffe, meine Erklärung kann anderen Menschen helfen, die sich mit komplexer Analyse befassen und die analytische Fortsetzung verwirrend finden.

Fühlen Sie sich frei, noch etwas hinzuzufügen!

Antworten

1 JoséCarlosSantos Dec 07 2020 at 23:39

Bei diesen Theoremen geht es nicht um die Erweiterung analytischer Funktionen in dem Sinne, dass es nicht um die Möglichkeit geht, eine solche Funktion zu erweitern. Was sie sagen, ist, dass Sie eine analytische Funktion höchstens auf eine einzige Weise erweitern können. Es geht also um die Einzigartigkeit von Erweiterungen, nicht um ihre Existenz .

Genauer gesagt sagen sie, dass wenn$\Omega_1$und$\Omega_2$sind Domänen, mit$\Omega_1\subset\Omega_2$, und wenn$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$eine analytische Funktion ist, dann gibt es höchstens eine analytische Funktion$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$deren Beschränkung auf$\Omega_1$ist$f$. Aber es ist durchaus möglich, dass es keine gibt! Das ist der Fall, wenn z.$\Omega_1=D(0,1)$,$\Omega_2=\Bbb C$und$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$ist definiert durch$f(z)=\frac1{z-2}$.