Verwirrung über die Definition von Akkumulationspunkten
Ich habe versucht, etwas über die Grenzen von Sequenzen und Akkumulationspunkten zu lernen, um eine bessere Intuition hinter die Arbeitsweise für die Analysis zu bekommen, und ich war verwirrt über die Definitionen von Grenzen, Grenzpunkten und Akkumulationspunkten von Sequenzen und Mengen.
Meine erste Frage ist eine Grenze einer Sequenz, die mit dem Akkumulationspunkt identisch ist, und ist dieselbe wie der Grenzpunkt, den ich online angesehen habe, und alles ist sehr vage. Meine zweite Verwirrung ist, dass die Grenze einer Sequenz dieselbe ist wie die Grenze einer Menge, wenn nicht, gibt es einen Beweis oder eine intuitive Erklärung, warum nicht?.
Ich weiß, dass dies wahrscheinlich ein sehr einfaches und wahrscheinlich triviales Konzept für euch alle hier ist, aber es hat mich sehr verwirrt. Danke im Voraus
Antworten
Ein Grenzpunkt ist dasselbe wie ein Akkumulationspunkt, und seine Definition lautet wie folgt:
Ein Punkt $x$ ist ein Grenzpunkt einer Menge $A$ wenn für jede Nachbarschaft $S$ von $x$ es gibt $y \in S$ so dass $y \in A$, $y \neq x$.
Ich bevorzuge den Namen "Akkumulationspunkt", weil Sie hier eigentlich keine Grenzen setzen ... es ist umgekehrt! Um Limits ausführen zu können, benötigen Sie normalerweise Akkumulationspunkte, da für die topologische Definition eines Limits Nachbarschaften verwendet und die Funktion dort berechnet werden müssen.
Zu Ihrer zweiten Frage:
Ein Punkt $x$ist ein Akkumulationspunkt für eine Sequenz $\{x_n\}$ wenn irgendeine Nachbarschaft $S$ von $x$ ist so, dass es unendlich viele Indizes gibt $n$ so dass $x_n \in S$.
Es ist im Wesentlichen die gleiche Definition wie oben, aber Sie nehmen $A=\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$. Ein Punkt ist jedoch ein Grenzpunkt für eine Sequenz, wenn alle Indizes nach einem bestimmten Punkt liegen$n$sind in jeder Nachbarschaft. Formal:
Ein Punkt $x$ ist die Grenze einer Sequenz $\{x_n\}$ wenn irgendeine Nachbarschaft $S$ von $x$ ist so, dass es existiert $N \in \mathbb{N}$ so dass $x_n \in S$ für alle $n>N$.
Und das ist stärker als nur ein Akkumulationspunkt: Sie können den Unterschied erkennen, wenn Sie die Reihenfolge berücksichtigen $x_n = \frac{(-1)^n n}{n+1}$. Jede Nachbarschaft von$1$ enthält unendlich viele Punkte dieser Sequenz, nämlich alle $x_{2n}$ nach einem gewissen $n$. Ebenso jede Nachbarschaft von$-1$ wird alle enthalten $x_{2n+1}$ nach einem gewissen $n$, also beides $1$ und $-1$ sind Clusterpunkte für $x_n$. Es gibt jedoch keine Begrenzung (tatsächlich sind Begrenzungen eindeutig, sofern vorhanden).
Es gibt einen Unterschied zwischen Grenzwert und Grenzpunkt. Das Konzept ist für Sequenzen und Funktionen definiert, aber der Grenzpunkt ist für Mengen definiert, wie in der obigen Antwort erwähnt. Eine Sequenz kann einen Grenzpunkt haben, aber keinen Grenzwert. Zum Beispiel lassen$\{a_n\}$ ist definiert als $$1+\frac{1}{n} , (-1)+ \frac{1}{n},... $$ Das $a_n=1+\frac{1}{n} $ für ungerade n und $a_n=-1+\frac{1}{n} $für Abend. In dieser Reihenfolge beide$1$ und $-1$ sind Grenzpunkte, aber die Reihenfolge ist nicht konvergent und es gibt keine Begrenzung.