Vorgeschriebene Nachbarschaft auf einem Verteiler finden

Question

Beweisen Sie dies bei einer glatten Mannigfaltigkeit für eine offene Menge$U\subset M$wir können immer eine geschlossene Menge finden$\bar{B}\subset U$so dass$B$ist eine Nachbarschaft von irgendeinem Punkt$p\in U$.

Mein Versuch: seit$M$hat Basis von regelmäßigen Bällen, gibt es$B\subset U$das ist ein normaler Ball, also gibt es einen anderen$B'$so dass$\bar{B}\subset B'$. Aber wie man es zeigt, ist in enthalten$U$?

Answer 1

Wählen$p\in U$und wähle eine Koordinatenkugel$V\ni p$mit$V\subseteq U$. Wir können diese Kugel so wählen, dass ein Diffeomorphismus vorliegt$\phi:V\to B_r(0)\subseteq \Bbb{R}^n$.Dann einstellen$W=\phi^{-1}(B_{r/2}(0))$, und notieren Sie sich das dann$\overline{W}\subseteq U$und das$W$ist eine Nachbarschaft von$p$.

Hinweis: die erste Wahl von$V$ist möglich, weil es eine Basis durch koordinative offene Mengen gibt.