Warum ist der Vorstoß einer invertierbaren Garbe auf BG zu ihrem groben Schema nicht invertierbar?
Meine Frage betrifft wirklich ein bestimmtes Beispiel. Lassen$G = \mu_2$ sei die zyklische Gruppe der Ordnung 2. Sei $* := \text{Spec }\mathbb{C}$, und lass $BG := [*/\mu_2]$ der Stapelquotient, wo $\mu_2$ wirkt trivial auf $*$. Lassen$\mathcal{O}_{BG}$ bezeichnen die Struktur Garbe, und lassen $L$ bezeichnen die umkehrbare Garbe auf $BG$ entsprechend der nichttrivialen Darstellung von $\mu_2$ auf $\mathbb{C}$. So,$L(*\rightarrow BG) = \mathbb{C}$und die Aktion von $\mu_2$ auf $*\rightarrow BG$ induziert die Inversionswirkung von $\mu_2$ auf $\mathbb{C}$.
Lassen $c : BG\rightarrow *$bezeichnen die kanonische Karte zu ihrem groben Schema. Ich habe das gehört, wenn$L$ bezeichnet die umkehrbare Garbe auf $BG$ gegeben durch die nichttriviale Darstellung von $\mu_2$ auf $\mathbb{C}$, dann $c_*L$ ist nicht invertierbar auf $*$. Nach den Definitionen (siehe unten) scheint dies jedoch so zu sein$c_*L$ ist in der Tat invertierbar auf $*$. Wo bin ich falsch gelaufen?
Nach der Definition von Pushforward glaube ich an die globalen Abschnitte von $c_*\mathcal{O}_{BG}$ sollte gleich der Grenze sein
$$\lim\mathcal{O}_{BG}(*\rightarrow BG)$$ wobei die Grenze über alle Morphismen reicht $f : *\rightarrow BG$ befriedigend $c\circ f = \text{id}_*$. Da die Automorphismusgruppe von$*\rightarrow BG$ wirkt trivial auf $\mathcal{O}_{BG}$Dies ist nur die Grenze des Zwei-Objekt-Diagramms $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$, das ist nur die Diagonale in $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$.
Ebenso globale Abschnitte von $c_*L$ sollte die Grenze des Zwei-Objekt-Diagramms sein $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$, das ist nur die Menge der Paare $\{(a,-a) : a\in\mathbb{C}\}$.
Die Aktion von $c_*\mathcal{O}_{BG}$ auf $c_*L$ sollte die koordinatenweise Multiplikationsaktion des Diagramms sein $\mathbb{C}\stackrel{\text{id}}{\rightarrow}\mathbb{C}$ auf dem Diagramm $\mathbb{C}\stackrel{-1}{\rightarrow}\mathbb{C}$. Dh in globalen Abschnitten die Aktion$$c_*\mathcal{O}_{BG}\times c_*L\longrightarrow c_*L$$ sollte nur von gegeben werden $((r,r),(a,-a)) \mapsto (ra,-ra)$. Das scheint zu machen$c_*L$ in eine umkehrbare Garbe auf $*$, aber ich habe gehört, dass dies tatsächlich nicht wahr ist. Wo bin ich falsch gelaufen?
Antworten
Der Pushforward $c_{\ast}L$ sollte die Grenze des Diagramms mit einem Objekt sein "$\mathbb{C}$"und zwei (Auto-) Morphismen"$\mathrm{id} : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$" und "$-1 : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$"; mit anderen Worten, es ist der Ausgleich von $\mathrm{id}$ und Multiplikation mit ($-1$); also in der Tat$c_{\ast}L = 0$.
Eine allgemeinere Aussage ist: unter der Entsprechung zwischen quasi kohärent $\mathcal{O}_{BG}$-Module und $G$-repräsentationen, der Pushforward-Funktor $c_{\ast}$ entspricht dem $G$-varianten functor.
Wenn wir ersetzen $\mathbb{C}$ Bei einem Feld der Eigenschaft 2 müssten wir dann vorsichtig sein - im Allgemeinen quasi kohärent $\mathcal{O}_{B(\mathbb{Z}/(2))}$-Module sind $\mathbb{Z}/(2)$-repräsentationen und quasi kohärent $\mathcal{O}_{B\mu_{2}}$-Module sind $\mathbb{Z}/(2)$-gradierte Vektorräume (der Pushforward hier entspricht dem Grad $0$ abgestufte Komponente).