Warum ist die Gesamtzeit gleich? $ N \cdot {T}_{s} $ und nicht $ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s} $ Im Kontext von DFT?
In den Definitionen der DFT
DFT $$ X(j)=\sum_{k=0}^{N-1} x(k) \exp \left(-i 2 \pi\left(\frac{j}{N}\right) k\right) $$
Sagen wir, wenn wir haben $10$ Punkte, $N=10$, jeweils abgetastet bei $0.2$ Sekunden, warum ist die Gesamtzeit für die Berechnung der Frequenzauflösung gleich $$ \frac{1}{N\Delta t } $$
wo $k$ wird von laufen $0, 1, 2, \ldots , 9$.
Wenn der erste Punkt bei Null war, liegt die Abtastzeit bei $0.2$und der letzte abgetastete Punkt wird bei sein $$0.2\cdot (N-1)= 0.2\cdot 9 = \mathbf{1.8 \ \rm s}$$
Vielmehr ist die Gesamtzeit gleich $0.2\cdot N= 0.2\cdot 10=\mathbf{2.0 \ \rm s}$ im Frequenzschritt.
PS: Ich habe die Abfrage und die Diskussion gesehen. Wie messe ich die Zeitdauer?
Hier $\Delta t = 0.1 \ \mathrm{s}, N= 11 (\text{Eleven data points}), k= N-1$;; So
$$\text{total signal duration} = k\cdot \Delta t = (11-1)\cdot \Delta t= 1 \ \text{second}$$
Dies stimmt mit dem überein $10 \rm \ Hz$Abtastrate , dh$10$ Punkte wurden in gesammelt $1 \ \text{second}$ und der $11^{th}$ Punkt gehörte zum nächsten Zyklus.
Antworten
Sie haben Recht, die Dauer der Einnahme$N$einheitliche Abtastwerte eines Signals sind
$$ D = (N-1) \cdot T_s$$
wo $T_s$ist die Abtastperiode .
Ein konkretes Beispiel ist ausreichend; Nehmen Sie Ihre Probenahmezeit an$T_s$ ist 1 Stunde lang und Sie möchten 3 Proben eines sich langsam ändernden Prozesses entnehmen, z. B. die Höhe einer Eisbergspitze, während diese schmilzt.
Ihre erste Probe wird bei genommen $t=0$(Der elektronische Abtastvorgang selbst dauert ungefähr eine Mikrosekunde oder weniger. Ignorieren Sie ihn daher im Vergleich zu einer Stunde Abtastzeit!). Dann kommt Ihre zweite Probe an$1$ Stunde später kommt Ihre dritte (und letzte) Probe an $2$ Stunden später.
Daher dein $3$ Proben lange Beobachtung dauert $D = (3-1) \cdot 1 = 2$Stunden lang. Sobald Sie Ihre letzte (dritte) Probe entnommen haben, schalten Sie das Probenahmesystem aus. Sie warten keine weitere Stunde (ein weiteres Probenahmeintervall), nachdem Sie Ihre letzte Probe entnommen haben.
Und diese Berechnungsmethode entspricht genau der Berechnung von Abständen innerhalb von Kristallgitterstrukturen. Wie groß ist der Abstand zwischen N Atomen? Was ist die Gesamtlänge von N Atomen (regelmäßig auf der x-Dimension platziert)?
Trotzdem finden Sie in der Literatur Ausdrücke mit $D = N \cdot T_s$. Einige Anwendungen erfordern dies möglicherweise. dh blockbasierte Signalverarbeitung, DFT, Abtastratenumwandlung verwenden einen solchen Gesichtspunkt, der in ihrer Verarbeitung von Datenblöcken nacheinander gerechtfertigt ist.
Um zu verstehen warum $D = N \cdot T_s$kann in der DFT-Analyse verwendet werden, betrachten Sie das folgende Beispiel. Angenommen, Sie haben einen langen Datensatz, z$4 \cdot N$ Proben, unterteilt in 4 Blöcke von $N$Proben; dh Sie haben 4 Blöcke von$N$Proben jeweils. Die Blöcke sind benachbart, ihre Abtastreihenfolgen sind (1, N), (N + 1,2N), (2N + 1,3N), (3N + 1,4N). Die Probe$N+1$gehört zum zweiten Block, aber die Dauer des ersten Blocks wird von Probe 1 bis Probe N + 1 gemessen. Weil die Dauer zwischen den Abtastwerten N und N + 1 zum ersten Block gehört, und dies erklärt, warum die Dauer dieses Blocks als angenommen wird$D = N \cdot T_s$. Für den letzten Probenblock (3N + 1,4N) beträgt die Dauer jedoch$(N-1)\cdot Ts$, da es keine benachbarten Blöcke mehr gibt.
Last but not least ist dies ein Thema der Debatte. :-)
Der Grund ist im Kontext des DFT- und Sampling-Theorems sehr einfach.
In diesem Zusammenhang entspricht die Abtastdauer etwa der Dauer, die Sie vollständig kennen und unter der Annahme einer ordnungsgemäßen Abtastung rekonstruieren können.
Bei diskreten Signalen geht es im Kontext der DFT im Modell darum, dass die Signale periodisch sind. Daher gibt Ihnen die letzte Stichprobe das Wissen über das Zeitintervall$ \left[ \left( N - 1 \right) \cdot {T}_{s}, N \cdot {T}_{s} \right] $ seit der nächsten Probe zur Zeit $ N \cdot {T}_{s} $ist bekannt. Es wird zum Zeitpunkt 0 abgetastet.