Warum ist diese Sequenz nicht einheitlich konvergent?
In diesem Problem wird das erklärt $f_n(x)$ist punktweise konvergent, jedoch nicht gleichmäßig konvergent. Die Erklärung, warum dies nicht einheitlich konvergent ist, wird ebenfalls gegeben. Ich kann es jedoch nicht verstehen, wenn ich den folgenden Satz verwende, erhalte ich diese Grenze von$f_n - f = 0$ Könnte mir vielleicht jemand eine detailliertere Antwort geben, warum die Sequenz einheitlich konvergent ist?


Antworten
Schon seit $\displaystyle(\forall n\in\Bbb N):\left|f_n\left(\frac1{2n}\right)\right|=\frac n4$, du hast $\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}\left|f_n(x)\right|\geqslant\frac n4$. Mit anderen Worten,$\displaystyle\|f-f_n\|_\infty\geqslant\frac n4$und insbesondere ist es nicht wahr, dass$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|f-f_n\|_\infty=0$. Die Konvergenz ist also nicht einheitlich.
Zuerst müssen Sie die punktweise Grenze bestimmen . Lassen$x\in[0,1]$. Zum$n>1/x$, $f_n(x)=0$, also ist die punktweise Grenze $0$.
Wie die Erklärung zeigt, haben wir $\|f_n\|_\infty=n/4$. So,$\lim_{n\rightarrow\infty}\|f_n\|_\infty=\lim_{n\rightarrow\infty}n/4=\infty$ und unter Verwendung des von Ihnen zitierten Theorems ist die Grenze der Suprema-Divergenz äquivalent zu $f_n$ nicht gleichmäßig konvergieren.
Durch die Definition der Konvergenz einer Sequenz in einem normierten (oder im allgemeinen metrischen Raum) Raum kann die Sequenz (fn) nicht gegen f konvergieren, da die Norm (hier ist sie sup-norm) von (fn - f)> = 1/4 für alle n.