Was ist der Grund von $dT/dh = 0$ in der Gassäule?
Gemäß der Thermodynamik erreicht jedes adiabatische System und (ohne externe Energiezusatz) ein thermodynamisches Gleichgewicht oder einen ergodischen Zustand (2 Gesetz der thermodynamischen Entropie kann in einem geschlossenen System nicht abnehmen). Zustand, bei dem die Temperatur (oder die mittlere kinetische Energie der Partikel) überall gleich ist. Die Antwort auf die Frage sollte also einfach und unkompliziert sein$dT/dh = 0$.
Aber ist es der Fall?
Öffnen wir es https://en.wikipedia.org/wiki/Lapse_rate Seite auf Wikipedia und wird sehen, dass das adiabatische System immer einen Gradienten erzeugt und unterstützt $$dT/dh < 0$ und gleich einer Konstanten.
Man kann argumentieren, dass dies daran liegt, dass dieses System kein Gleichgewicht erreicht und sich nicht viel entspannt. Aber schauen Sie sich die Berechnung an, wenn eine zusätzliche Relaxation stattgefunden hat, muss der Gradient abklingen und irgendwann 0 erreichen, aber das ist nicht der Fall.
Man kann argumentieren und sagen, dass ein guter Gradient vorhanden ist, aber es gibt keinen Widerspruch zum zweiten Gesetz. Aber ein Gedankenexperiment von Maxwell mit zwei Säulen unterschiedlicher Gase. Er zeigte, dass bei korrekten Berechnungen in diesen Spalten Gradienten unterschiedlicher Größe erzeugt werden. Und deshalb wird in einem System, in dem diese beiden Gassäulen überall außer oben isoliert sind, mit Sicherheit ein Wärmefluss von einem kälteren zu einem heißeren Körper stattfinden.
Da ein Gradient vorhanden ist, sind auch die Boltzmann-Verteilungen falsch.
Es ist einfach bemerkenswert, wie zwei solche widersprüchlichen Aussagen, nämlich die Universalität des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik und der Gradient in der Gassäule im Gravitationsfeld, nebeneinander existieren können, dies ist reine Schizophrenie.
Ich habe auch ein einfaches Rechenmodell erstellt, das deutlich zeigt, auf welcher adibatischen Zeitrafferrate Sie es finden können https://github.com/MaratZakirov/playground/blob/master/ideal_gas.py oder in der Antwort auf diese Frage.
Hier liste ich einige Ergebnisse auf, die ich bei der Diskussion dieser Frage gemacht und mein Modell erstellt habe:
Wenn Sie Kollisionen perfekter Gaspartikel berücksichtigen, führt dies immer nur zu einem Geschwindigkeitsaustausch (Newtons Wiege als Analogie). Diese Aussage kann leicht mathematisch bewiesen werden, da die Massen gleich sind und die Kollision starr ist und der Radius des Partikels vernachlässigbar ist. Dies ist der wahre Grund, warum Sie perfekte Gaskollisionen nicht berücksichtigen sollten, da dadurch keine neuen Eigenschaften in das Modell eingeführt werden.
Trotz der Tatsache, dass Boltzmann und andere ihre Verteilungen für ein ideales Gas abgeleitet haben, was die Eigenschaft der Ergodizität des Systems impliziert, gibt es in der Realität keine Energiemischung für das ideale Gasmodell, und Partikelkollisionen helfen hier überhaupt nicht (siehe vorherigen Absatz) ). In Wirklichkeit wird eine bestimmte Entität benötigt, die die Energien der Teilchen vermischt, und ich habe eine solche Entität eingeführt, und kurz danach manifestierte sich der Gradient in all seiner Pracht.
Antworten
Anscheinend nicht klar, ist der entscheidende Punkt, dass ein System im Gleichgewicht (mit oder ohne externes Feld) überall die gleiche Temperatur haben muss. Andernfalls würde es einen Nettoenergiefluss zwischen heißeren und kälteren Teilen des Systems geben, was die Annahme eines thermischen Gleichgewichts verletzt.
Die obige Aussage ist eine grundlegende thermodynamische Tatsache und kann leicht durch das Maximalprinzip der Entropie abgeleitet werden. Daher ist es eine Folge des zweiten Prinzips der Thermodynamik.
Das Temperaturprofil der Atmosphäre kann nicht als Gegenbeispiel verwendet werden: Die Atmosphäre ist kein System im Gleichgewicht.
Was ist mit numerischer Simulation?
Es ist nicht überraschend, dass ein perfektes Gas kein thermisches Gleichgewicht erreicht. Perfektes Gas hat keinen Mechanismus zum Ausgleichen. Es ist ein nichtergodisches System und für numerische Simulationen thermodynamischer Systeme nutzlos. Eine gewisse Wechselwirkung zwischen Partikeln muss vorhanden sein, um ein reales thermodynamisches System zu erhalten. Das perfekte Gas sollte als einschränkendes Verhalten wirklich interagierender Systeme angesehen werden.
Lassen Sie mich zur Verdeutlichung der vorherigen Kommentare einige Fakten zum Zusammenspiel von Ergodizität und thermodynamischem Verhalten zusammenfassen. Beachten Sie, dass ich mehr versuche, die wichtigsten physikalischen Ideen zu vermitteln, als die beste mathematische Formulierung derselben Konzepte zu erhalten.
Eine Schlüsseleigenschaft eines thermodynamischen Systems ist seine Fähigkeit, sich in Richtung Gleichgewicht zu entspannen, wenn es isoliert ist und sich zunächst nicht im Gleichgewicht befindet. Ein solches Verhalten ist gewährleistet, wenn die Systemdynamik ausreichend ungeordnet ist, um sicherzustellen, dass alle relevanten Zeitkorrelationsfunktionen zwischen beobachtbaren Größen innerhalb der experimentellen Beobachtungszeit auf Null abfallen. Anders ausgedrückt, ein thermodynamisches System verliert die Erinnerung an seinen Ausgangszustand. Formal wird eine solche Eigenschaft der Dynamik als Mischen bezeichnet . Wenn sich ein dynamisches System mischt, ist dies auch ergodisch . Ergodizität ist ein schwächerer Zustand als Mischen. Es kann als die Eigenschaft angegeben werden, dass für fast jede Anfangsbedingung die Trajektorie des Systems im Positions- / Geschwindigkeitsraum (dem Phasenraum) alle Teile des Phasenraums besucht, in denen sich das System bewegt. Ein wichtiges Ergebnis der dynamischen Systemtheorie ist Diese Mischdynamik ist auch ergodisch. Umgekehrt kann ein nichtergodisches System nicht mischen.
Dass das ideale Gas nicht ergodisch ist, lässt sich an einem einfachen Ausgangszustand erkennen: Eine kubische Box, die Hälfte der Partikel ruht und die andere Hälfte hat die gleiche Geschwindigkeit. Ein Teil des verfügbaren Phasenraums wird von einem solchen System niemals besucht. Darüber hinaus hat das Teilsystem der Partikel in Ruhe eine Temperatur von Null und die verbleibende eine endliche Temperatur. Dies ist eindeutig weder ein ergodisches System noch ein System im thermodynamischen Gleichgewicht.
Um ein Mischsystem zu erhalten, reicht es aus, eine noch kleine Wechselwirkung zwischen Partikeln oder mit den Wänden hinzuzufügen, um eine Dynamik einzuführen, die chaotisch genug ist, um die Mischeigenschaften wiederherzustellen. In einem Mischsystem kann man mit jeder Geschwindigkeitsverteilung beginnen, und wenn man genug wartet, ist es möglich, ein gut ausgeglichenes System in einem interagierenden System zu erhalten.
Ich stelle auch fest, dass weder Maxwell-Boltzmann noch die Gleichverteilung die richtige Geschwindigkeitsverteilung im Gleichgewicht in einem isolierten System sind. Selbst wenn man mit einer Verteilung beginnt, entwickelt sich die Geschwindigkeitsverteilung nach einer gewissen Relaxationszeit in Abhängigkeit vom thermodynamischen Zustand zu den richtigen Gleichgewichtswerten. Die Überwachung der zeitlichen Entwicklung der Geschwindigkeitsverteilung sollte ausreichen, um das Phänomen zu zeigen, zumindest wenn mit einer gleichmäßigen Verteilung begonnen wird. Da die mikrokanonische Geschwindigkeitsverteilung und Maxwell-Boltzmann für ein System von einigen tausend Partikeln sehr nahe beieinander liegen, denke ich nicht, dass es leicht wäre, den Unterschied zu bemerken. Eine sorgfältige Messung der Temperatur in verschiedenen Höhen sollte jedoch ausreichen. Darüber hinaus ist es für diese Art von Studie auch wichtig, den statistischen Fehler bei den Ergebnissen abzuschätzen, bevor quantitative Schlussfolgerungen gezogen werden können.
Das OP sagt nicht, was er mit "seiner Gleichung" meint, aber ich gehe davon aus, dass die Frage des OP das Boltzmannsche Gesetz betrifft $$ \rho(h)\propto e^{-mgh/kT} $$ für das Dichteprofil einer isothermen Atmosphäre und nicht für das thermische Gleichgewicht. Dieses einfache Gesetz der atmosphärischen Dichte setzt voraus, dass die Atmosphäre isotherm ist
Es gibt keinen Grund dafür, dass die Verteilung in einer realen atmosphärischen Säule isotherm ist. In der Tat fällt die Temperatur im unteren Teil der Erdatmosphäre, wo sie durch Konvektion gerührt wird, mit der Höhe ungefähr mit der adiabatischen Abfallrate ab . Dies liegt daran, dass sich ein Luftpaket ausdehnt und abkühlt, wenn es sich in einen Bereich mit niedrigerem Druck bewegt. Ebenso wird ein Paket, das sich nach unten bewegt, komprimiert und heißer.
Natürlich befindet sich eine ungleichmäßige Temperatur nicht im thermischen Gleichgewicht, sondern nur im mechanischen Gleichgewicht. Für die thermische Gleichgewicht muss man nicht davon ausgehen , dass die Temperatur konstant ist kann beweisen sie in geeigneten statistischen mechanischen Einstellungen.