Was ist nötig, um zu beweisen, dass der Tangentenraum auf einer Mannigfaltigkeit ein Vektorraum ist? [Duplikat]
Ich arbeite derzeit mit der Definition von Tangentenvektoren als Äquivalenzklassen von Kurven. So$v =[\gamma]$ und $w=[\sigma]$ wo $v,w$sind die Vektoren. Ich möchte beweisen, dass die Summe dieser beiden Äquivalenzklassen auch eine Äquivalenzklasse ist, um ihr die Vektorraumstruktur zu geben. Wir definieren die Summe als:
$v+w= [\phi^{-1} \circ (\phi \circ \gamma + \phi \circ \sigma)]$
wo $\phi$ist ein Diagramm. Ich verstehe, dass die Kurven nicht hinzugefügt werden können, wenn sie zur Mannigfaltigkeit gehören. Deshalb ordnen wir sie zuerst den Reals zu, in denen dies durchgeführt werden kann. Wie kann ich nun, da die Summe definiert ist, beweisen, dass es sich um eine andere Klasse handelt?$p$ auf $M$. Reicht es aus, um sicherzustellen, dass die Karte vorbeigeht?$p$? Die gleichen Fragen gelten für die Multiplikation mit dem Skalar. Vielen Dank
Antworten
Nachdem Sie Ihren Beitrag genauer gelesen haben, finden Sie hier eine einteilige Zusammenfassung Ihres Fehlers: Sie versuchen, die Kurven in zu addieren (und skalar zu multiplizieren)$\Bbb{R}^n$eher als ihre Geschwindigkeiten. Wie Sie gesehen haben, bringt das Hinzufügen der Kurven die Basispunkte durcheinander.
Als Set haben wir $T_pM$ ist die Menge der Äquivalenzklassen glatter Kurven, $[\gamma]$, wo $\gamma$ wird in einem offenen Intervall definiert, das enthält $0$ so dass $\gamma(0)=p$. Nun zu jedem Diagramm$(U,\phi)$ über den Punkt $p$Betrachten Sie die Funktion $F_{\phi,p}:T_pM \to \Bbb{R}^n$ definiert als \begin{align} F_{\phi,p}([\gamma]):= (\phi\circ \gamma)'(0). \end{align}Diese Funktion ist aufgrund der Definition der Äquivalenzbeziehung gut definiert. Beachten Sie die intuitive Bedeutung:$\gamma$ ist eine Kurve mit Werten im Verteiler $M$Wenn wir also ein Diagramm verwenden, können wir eine entsprechende Kurve erhalten $\phi\circ \gamma$ mit Werten im Banachraum (dh einem normierten Vektorraum) $\Bbb{R}^n$und wir wissen, wie Kalkül bei der Einstellung von Vektorräumen funktioniert. Also, all diese Karte$F_{\phi,p}$ tut es ist eine Kurve $[\gamma]$ und ordnet es dem "Geschwindigkeitsvektor" zu $(\phi\circ \gamma)'(0)$. Ich hoffe, das ist intuitiv (ansonsten zeichnen Sie einfach ein paar Bilder, um zu sehen, wo sich die einzelnen Objekte befinden).
Jetzt ist es auch einfach, dies zu überprüfen $F_{\phi,p}$ist eine bijektive Funktion; Ich überlasse es Ihnen, dies zu überprüfen$G_{\phi,p}:\Bbb{R}^n\to T_pM$ definiert als \begin{align} G_{\phi,p}(v):= [t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)] \end{align}ist die Umkehrfunktion. Mit anderen Worten, wir nehmen einen Vektor$v\in\Bbb{R}^n$und unter Berücksichtigung der geraden Linie $t\mapsto \phi(p)+tv$. Dies ist eine Kurve, die auf dem Punkt basiert$\phi(p)$, in die Richtung $v$. Schon seit$\phi$ ist ein Homöomorphismus, folgt daraus, dass für ausreichend kleine Werte von $t$, wir haben $\phi(p)+tv\in \phi(U)=\text{domain}(\phi^{-1})$Daher können wir die Äquivalenzklasse der Kurve betrachten $t\mapsto \phi^{-1}(\phi(p)+tv)$.
Was hat all diese zusätzliche Notation ergeben? Nun, wir haben eine bijektive Funktion$F_{\phi,p}:T_pM\to \Bbb{R}^n$, und natürlich, $\Bbb{R}^n$ ist ein Vektorraum, also können wir durch grundlegende lineare Algebra die Vektorraumstruktur von "zurückziehen" $\Bbb{R}^n$ um zu machen $F_{\phi,p}$ein linearer Isomorphismus. Ich meine explizit, dass wir Addition und Skalarmultiplikation definieren können$+_{\phi}$ und $\cdot_{\phi}$ (Ich habe den Index gesetzt, weil bisher alles diagrammabhängig ist) wie folgt: \begin{align} \begin{cases} [\gamma_1]+_{\phi} [\gamma_2]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(F_{\phi,p}([\gamma_1])+ F_{\phi,p}([\gamma_2])\bigg)\\ c\cdot_{\phi}[\gamma]&:= F_{\phi,p}^{-1}\bigg(c\cdot F_{\phi,p}([\gamma])\bigg) \end{cases} \end{align}
Wenn Sie alle Definitionen abwickeln, dann \begin{align} c\cdot_{\phi}[\gamma_1]+_{\cdot}[\gamma_2]= [t\mapsto \phi^{-1}\left(\phi(p) + t(c\cdot (\phi\circ \gamma_1)'(0)+(\phi\circ \gamma_2)'(0))\right)] \end{align} Hoffentlich ist die Idee klar genug: Sie haben eine Bijektion, also schieben Sie einfach alles vorwärts und führen die Berechnungen durch $\Bbb{R}^n$, dann bring alles zurück zu $T_pM$und so werden Addition und Skalarmultiplikation definiert. Ich überlasse es Ihnen, dass alle Axiome des Vektorraums erfüllt sind und dass$F_{\phi,p}$ ist ein linearer Isomorphismus usw.
Als letztes ist zu beachten, dass die Addition und Skalarmultiplikation bisher anhand eines bestimmten Diagramms definiert wurden $(U,\phi)$Tatsächlich ist es jedoch eine einfache Kettenregelübung, um zu überprüfen, ob Sie ein anderes Diagramm haben $(V,\psi)$, dann $+_{\phi}=+_{\psi}$ und $\cdot_{\phi}=\cdot_{\psi}$, also die Vektorraumstruktur auf $T_pM$ ist eigentlich chartunabhängig, daher bezeichnen wir es einfach als $+$ und $\cdot$wie gewöhnlich. Ich überlasse es Ihnen, Definitionen abzuwickeln, Kettenregeln usw. zu verwenden, um dies zu überprüfen. Wenn Sie Probleme haben, lassen Sie es mich wissen, vielleicht kann ich mehr ausarbeiten.