Welche Bedeutung haben für die Ergodizität der R-Wert und die Steigung?
Ich berechne zum ersten Mal MSDs und habe Probleme, Ressourcen für Anfänger zu finden, um sie zu verstehen. Wenn jemand Ressourcen vorschlagen oder Anleitungen zur Interpretation der MSD-Ergebnisse geben könnte, wäre ich Ihnen dankbar.
Ich habe NPT-Simulationen durchgeführt, um Daten für die Verwendung in Strömungssimulationen zu sammeln. Jetzt stelle ich jedoch fest, dass ich im Vergleich zu Menschen, die ähnliche Systeme betrachtet haben, niedrige Temperaturen verwendet habe. Daher möchte ich MSDs bewerten, um sicherzustellen, dass die Simulationen ergodisch sind.
Ich habe nicht viel Erfahrung mit Statistiken und ein grundlegender Punkt, den ich nicht verstehe, ist, ob es auf die Steigung der MSD oder den R-Wert ankommt . Oder beides.
Ein Beispiel für eine von mir berechnete MSD finden Sie unten. Ich erhalte diese Ausgabe (ich kann das verwendete Zeitintervall nicht steuern, die Software wählt es aus):
Linear regression interval 41.52 - 83.03 ps. MSD(t) = -10806.283111 + 1575.888517 * t R = 0.977891
Wenn ich eine Steigung im Intervall von 1 ps bis zur vertikalen Kurve berechne , erhalte ich ~ 0,8 , was meiner Meinung nach nicht besonders gut ist. Ich weiß nicht, was ein akzeptabler Wert wäre, schätze aber> 0,9. Ich bekomme 0,95, wenn ich die Steigung nicht aus 1 ps, sondern aus 10 ps berechne . Bei einem Log-Log-Plot ist dies jedoch ein kleines Intervall. Ist es inakzeptabel klein?
Antworten
Kurze Einführung in die Ergodizität
- Ergodizität ist, wenn der Zeitdurchschnitt dem Ensemble-Durchschnitt entspricht.
- Ein Prozess ist ergodisch, wenn der Zeitdurchschnitt "im quadratischen Mittelwert konvergiert" zum Ensemble-Durchschnitt.
- Eine Sequenz $X_t$ konvergiert im Quadrat Mittelwert zu$X$ wenn:
$$ \tag{1} \lim_{t\rightarrow \infty}\langle \left|X_t - X\right|^2 \rangle = 0, $$
wo $\langle x \rangle$ bedeutet den Mittelwert (Durchschnitt) von $x$. Wenn also der Mittelwert des Quadrats der absoluten Differenz zwischen dem Zeitdurchschnitt und dem Ensemble-Durchschnitt (dh der MSD zwischen ihnen) gegen Null geht, kann der Prozess als ergodisch bezeichnet werden.
Kurze Einführung in die generalisierte Diffusion
Wenn wir MSD zeichnen$(t)$ mit MSD auf der vertikalen Achse und $t$ auf der horizontalen Achse und passen Sie die Daten an eine Potenzgesetzform an:
$$ \tag{2} \textrm{MSD}(t) = Dt^\alpha, $$
wo $D$ist die Diffusionskonstante und$\alpha$ist der verallgemeinerte Diffusionsexponent :
- normale Diffusion ist gekennzeichnet durch$\alpha=1$, was MSD bedeutet$(t)$ ist linear.
- Subdiffusion ist gekennzeichnet durch$0<\alpha<1$, was MSD bedeutet$(t)$ ist sublinear.
- Superdiffusion ist gekennzeichnet durch$\alpha>1$, was MSD bedeutet$(t)$ ist superlinear.
Kurze Einführung in die statistische Regression
Der Bestimmungskoeffizient ist gegeben durch$R^2$und ist ein Maß für die "Passgenauigkeit". Wie gut sagt diese Linie oder Kurve die Daten voraus, wenn Sie eine Linie oder Kurve durch Daten anpassen? Wenn$R^2 = 1$ Dann werden die Daten durch Ihre angepasste Linie oder Kurve perfekt vorhergesagt.
Bewerbung für Ihren Fall
"Ich verstehe nicht, ob es auf die Steigung der MSD oder den R-Wert ankommt. Oder auf beides."
Sie könnten Ihre MSD zeichnen$(t)$und passen Sie die Daten an Gl. 2, die Ihnen eine geben wird$\alpha$, die Ihnen sagen, welche Art von Diffusion Sie haben. Da Sie sich jedoch für ein Log-Log-Diagramm entschieden haben, wird Gl. 2 muss entsprechend geändert werden:
\begin{align} \tag{3} \log\textrm{MSD}(t) &= \frac{\alpha \log D}{\log 10} \log(t), \\ y &= m x, ~~~ m \equiv\alpha\left(\frac{ \log D}{\log 10}\right). \tag{4} \end{align}
Steigung: Gl. 4 sagt uns, dass eine sehr große Steigung auf eine Superdiffusion hinweisen kann und eine sehr kleine Steigung auf eine Subdiffusion hinweisen kann.
$R$-Wert: Dein$R$ Wert impliziert eine $R^2$ von 0,956, was bedeutet, dass in dem Bereich, in dem Sie die Anpassung durchgeführt haben (41,52 - 83,03 ps), die Daten ziemlich linear sind (könnten linearer sein, aber viel schlechter).