Welche vollständigen Gitter sind isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter?
Bei jeder Familie vollständiger Latices $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ st für alle $i\in I$ wir bezeichnen $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ und $X=\prod_{i\in I}X_i$ Beachten Sie, dass wir ein vollständiges Gitter definieren können $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (nennen es ihr Produkt) auf $X$ st $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, definiert für $a,b\in X$ wie folgt: $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ auch wenn $S\subseteq X$ dann $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ und $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ Außerdem nennen wir jedes Gitter mit einem Element trivial und sagen ein vollständiges Gitter $\mathfrak{L}$ ist nicht reduzierbar, wenn es keine Familie von zwei oder mehr nicht trivialen vollständigen Gittern gibt $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ st $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. Nach alledem ist meine Frage, wann vollständige Gitter isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter sind. Gibt es zum Beispiel irgendwelche "elementaren" oder "nützlichen" Kriterien, um dies zu bestimmen? Was sind Beispiele für vollständige Verbände, die nicht auf ein Produkt von irreduziblen Gitter isomorph? Könnte mir jemand ein paar davon geben?
Offensichtlich ist jedes endliche vollständige Gitter isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter, denn wenn das Gitter selbst irreduzibel ist, werden wir dies ansonsten in zwei Gitter zerlegen, die Untergitter des Elternteils sind und somit als Gitter auf Mengen ausgedrückt werden können, die jeweils kleiner als die sind Wenn wir diesen Vorgang immer wieder wiederholen, erhalten wir eine Familie irreduzibler Gitter, deren Produkt unserem Elternsatz entspricht (dieser Prozess muss beendet werden, da sich jedes dieser Gitter auf kleineren Mengen befindet und per Definition jedes triviale Gitter nicht reduzierbar ist Wenn wir also ein solches Gitter auf eine Menge an einem Element reduzieren, sind wir fertig.
Zusätzlich wenn überhaupt ein komplettes Gitter $L_1\cong L_2\times L_3$ist dann nicht isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter$L_2$ oder $L_3$sind nicht isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter. Wenn wir also den vorherigen Prozess anwenden, sehen wir, dass jedes Gitter, das nicht isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter ist, eine unendliche Anzahl von Untergittern enthalten muss, die auch nicht isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter sind.
Antworten
Für Verteilungsgitter gibt es eine ziemlich einfache Möglichkeit, diese Fragen zu verstehen. Beachten Sie nämlich, dass wenn$L=A\times B$ ist ein Produkt aus zwei Gittern, den Elementen $(1,0)$ und $(0,1)$ sind Komplemente voneinander (ihre Verbindung ist $1$ und ihr Treffen ist $0$). Umgekehrt, wenn$L$ ist ein Verteilungsgitter und $a,b\in L$ sind also Komplemente voneinander $L\cong A\times B$ wo $A=\{x\in L:x\leq a\}$ und $B=\{x\in L:x\leq b\}$. In der Tat gibt es eine ordnungserhaltende Karte$f:L\to A\times B$ Kartierung $x$ zu $(x\wedge a,x\wedge b)$ und die Karte $A\times B\to L$ Senden $(x,y)$ zu $x\vee y$ ist umgekehrt zu $f$ schon seit $L$ ist verteilend.
Ein Verteilungsgitter ist also nicht reduzierbar, wenn es keine nichttrivial komplementierten Elemente enthält. Die Menge der komplementierten Elemente in einem beliebigen Verteilungsgitter$L$ bildet eine Boolesche Algebra, die ich nennen werde $B(L)$. Darüber hinaus ist ein Verteilungsgitter$L$ ist ein Produkt $\prod_{i\in I} L_i$, dann $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
Insbesondere wenn $L$ ist ein Produkt von (nicht trivialen) irreduziblen Gittern $\prod_{i\in I} L_i$, dann $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, Seit jeder $B(L_i)$ ist nur das Zwei-Elemente-Gitter $\{0,1\}$. Außerdem,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ wo $e_i\in L$ ist $1$ auf der $i$th Koordinate und $0$ auf die anderen und diese Elemente $e_i$ sind nur die Atome der Booleschen Algebra $B(L)$. Mit dieser Identifikation wird die Projektion$L\to L_i$ ist nur die Karte $x\mapsto x\wedge e_i$.
Wir schließen daraus, dass ein Verteilungsgitter $L$ ist isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter auf der Karte $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ ist ein Isomorphismus, wo $I$ ist die Menge der Atome von $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, und die $i$th Koordinate von $f$ ist die Karte $x\mapsto x\wedge i$. Wenn$L$ ist vollständig, diese $L_i$wird automatisch auch abgeschlossen sein. Insbesondere eine notwendige Bedingung für$L$ isomorph zu einem Produkt irreduzibler Gitter zu sein, ist für $B(L)$ isomorph zu einer Potenzmenge Boolesche Algebra sein.
Also zum Beispiel, wenn $L$ ist also eine vollständige Boolesche Algebra, die nicht isomorph zu einer Potenzmenge ist $L$ist kein Produkt irreduzibler Gitter. Für ein explizites Beispiel:$L$ könnte das Gitter regulärer offener Teilmengen von sein $\mathbb{R}$oder das Gitter von Borel-Teilmengen von $\mathbb{R}$ Modulo-Sätze von Lebesgue-Maß $0$. Für ein anderes Beispiel:$L$könnte das Gitter offener Teilmengen der Cantor-Menge sein. Dann$B(L)$ ist die Boolesche Algebra von Clopen-Teilmengen der Cantor-Menge, die atomlos ist (und tatsächlich nicht einmal vollständig ist).
Zum Beispiel wo $B(L)$ ist ein Power Set aber $L$ ist immer noch kein Produkt von irreduziblen Gittern, die man nehmen könnte $L$ das Gitter offener Teilmengen von sein $\beta\mathbb{N}$. Dann$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, aber seine Atome sind die Singletons $\{n\}$ zum $n\in\mathbb{N}$ also die karte $L\to\prod_{i\in I}L_i$ wie oben beschrieben ist die Karte $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ Senden einer offenen Teilmenge von $\beta\mathbb{N}$ zu seinem Schnittpunkt mit $\mathbb{N}$, was nicht injektiv ist.