Wenn $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ sind kontinuierlich und konvergieren zu $f$ Punktweise muss $f$Riemann Integrable sein? [Duplikat]
Ich versuche die folgende Frage zu lösen
Richtig oder falsch? Wenn$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ ist eine Folge von stetigen Funktionen, die konvergieren $f$ dann punktuell $f$ ist Riemann integrierbar und $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$
Mit Hilfe der Kommentare habe ich dieses Gegenbeispiel gefunden, aber ich hoffe, dass es ein einfacheres gibt.
Wenn wir die Riemann-Integrale durch Lebesgue-Integrale ersetzen, ist das Ergebnis durch den dominierten Konvergenzsatz wahr. Dies impliziert, dass wenn$f$ ist also tatsächlich Riemann Integrable $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Wenn wir also nach einem Gegenbeispiel suchen, sollten wir versuchen, eines zu finden, wo $f$ ist nicht Riemann integrierbar.
Vielen Dank für jede Hilfe.
Antworten
Das klassische Gegenbeispiel ist folgendes: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Lassen$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (was existiert, weil es die Grenze einer positiv abnehmenden Sequenz ist), dann existiert entweder dort $n_0$ so dass $f_{n_0}$ ist nicht Riemann-integrierbar, was ein Gegenbeispiel bildet, weil $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ ist Riemann-integrierbar für alle $m$, entweder $f_n$ sind alle Riemann-integrierbar, aber seitdem $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ ist nicht Riemann-integrierbar und $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, dann ist dies ein Gegenbeispiel.