Wenn jede stetige reelle Funktion definiert ist $K$ ist dann begrenzt $K$ ist kompakt
Ich versuche, die folgende Frage aus dem Bereich der realen Analyse zu lösen :
- Lassen $K$ eine nicht leere Teilmenge von sein $\mathbb R^n$ wo $n > 1$. Welche der folgenden Aussagen muss wahr sein?
(I) Wenn $K$ Ist kompakt, dann definiert sich jede stetige reelle Funktion auf $K$ ist begrenzt.
(II) Wenn jede stetige reelle Funktion definiert ist $K$ ist dann begrenzt $K$ ist kompakt.
(III) Wenn $K$ ist also kompakt $K$ Ist verbunden.
Der Beweis für (I) ist Standard. Ich versuche (II) durch Widerspruch zu sehen.
Ist es möglich, einen Beweis für (II) in diese Richtung zu formulieren:
Annehmen $K \subseteq \mathbb R^n$ist nicht kompakt. Dann gibt es eine offene Abdeckung$\mathcal C$das hat keine endliche Unterdeckung. Aber$f: K \to \mathbb R$ist kontinuierlich. (...) Widerspruch.
Antworten
Eine Teilmenge von $\mathbb{R^n}$ist genau dann kompakt, wenn es geschlossen und begrenzt ist, dies ist ein Standardergebnis. Nehmen wir nun an, dass jede stetige reelle Wertfunktion auf definiert ist$K$ist begrenzt. Insbesondere die Funktion$f(x)=||x||$ ist begrenzt auf $K$daher $K$ ist eine begrenzte Menge.
Wir müssen also nur beweisen $K$ist geschlossen. Angenommen, es ist nicht so. Dann gibt es irgendwann einen Punkt$y\in\overline{K}\setminus K$. Definieren$f:K\to\mathbb{R}$ durch $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Dies ist eine kontinuierliche Funktion, die nicht begrenzt ist, ein Widerspruch.
Ich möchte nur hinzufügen, dass, wenn der Bereich der Real ist, der mit der begrenzten Metrik ausgestattet ist, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, dann ist die Aussage für metrische Räume nicht wahr, selbst wenn die $Dom(f)$ zufrieden die Heine-Borel Eigenschaft.