Wenn $m$ ist eine positive ganze Zahl, zeigen Sie das $3m+2$ und $5m+3$ sind relativ prim [Duplikat]
Ich habe versucht, es zu beweisen, indem ich das Gegenteil angenommen habe. Also (3 m + 2, 5 m + 3) = k, k> 1 3 m + 2 = ka; 5 m + 3 = kb;
5 m + 3 = 3 m + 2 + 2 m + 1; 5 m + 3 = ka + 2 m + 1; kb = ka + 2 m + 1; 2 m + 1 = kb-ka; 2 m + 1 = 5 m + 3-3 m + 2; 2 m + 1 = 2 m + 1; Das bedeutet, dass sie nicht relativ prim sind, aber wenn Sie dies mit Zahlen testen, können Sie deutlich sehen, dass sie es sind. Was mache ich falsch ?
Antworten
Das hast du gerade bewiesen $2m+1=2m+1$.
Versuchen Sie dies ( euklidischer Algorithmus ), um anzuzeigen, dass die gcd ist$1$::
$$5m+3=1(3m+2)+(2m+1)$$
$$3m+2=1(2m+1)+(m+1)$$
$$2m+1=1(m+1)+m$$
$$m+1=1(m)+1$$
$$(5m+3;3m+2)=(2m+1;3m+2)=(2m+1;m+1)=(m;m+1)=1$$
Wenn $d$ teilt beide $3m+2$ und $5m+3$muss es auch teilen $5(3m+2)-3(5m+3)=1$.