Wenn zwei Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ sind dann abhängig abhängig $X_1^2$ und $X_2^2$ abhängig sein?

Aug 15 2020

Wenn zwei Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ sind dann abhängig $X_1^2$ und $X_2^2$ abhängig sein.

Ich halte diese Aussage für falsch. Bedenkt, dass$X_1$ und $X_2$ abhängig zu sein bedeutet

$\sigma(X_1)$ ist abhängig von $\sigma(X_2)$ das heißt, die von jedem rv erzeugten Sigma-Algebren sind abhängig, aber seitdem $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ und $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ Die Reduktion könnte möglicherweise zu unabhängigen Sigma-Algebren führen.

Das Gegenbeispiel, das ich mir ausgedacht habe, ist

Lassen:

$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ und $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$

Beachten Sie, dass diese beiden Zufallsvariablen stark abhängig sind, aber wenn ich beide quadriere $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ und $X_1|X_1=1$Somit sind die beiden quadratischen Zufallsvariablen unabhängig. Ist das Gegenbeispiel Sound?

Antworten

3 Henry Aug 16 2020 at 02:51

Ihr Gegenbeispiel funktioniert, dachte seit Ihrem $X_2^2$ ist konstant, es ist nicht sehr aufschlussreich, da es von allem unabhängig ist

Ein anderer könnte zu haben sein $A$ und $B$ unabhängig Standard normal (Mittelwert $0$Varianz $1$) und

$X_1=A$ während $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.

Dann $X_1$ und $X_2$ sind positiv korrelierte Normalverteilungen während $X_1^2$ und $X_2^2$ sind unabhängige Chi-Quadrat-Verteilungen