Wenn zwei Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ sind dann abhängig abhängig $X_1^2$ und $X_2^2$ abhängig sein?
Wenn zwei Zufallsvariablen $X_1$ und $X_2$ sind dann abhängig $X_1^2$ und $X_2^2$ abhängig sein.
Ich halte diese Aussage für falsch. Bedenkt, dass$X_1$ und $X_2$ abhängig zu sein bedeutet
$\sigma(X_1)$ ist abhängig von $\sigma(X_2)$ das heißt, die von jedem rv erzeugten Sigma-Algebren sind abhängig, aber seitdem $\sigma(X_1^2)\subset \sigma(X_1)$ und $\sigma(X_2^2)\subset \sigma(X_2)$ Die Reduktion könnte möglicherweise zu unabhängigen Sigma-Algebren führen.
Das Gegenbeispiel, das ich mir ausgedacht habe, ist
Lassen:
$X_1\sim \text{Unif}(0,1)$ und $$ X_2|X_1 = \begin{cases} 1 & X_1\in[0,\frac{1}{2})\\ -1 & X_1\in[\frac{1}{2},1]\\ \end{cases}$$
Beachten Sie, dass diese beiden Zufallsvariablen stark abhängig sind, aber wenn ich beide quadriere $X_1\sim \frac{1}{2\sqrt{x_1}}$ und $X_1|X_1=1$Somit sind die beiden quadratischen Zufallsvariablen unabhängig. Ist das Gegenbeispiel Sound?
Antworten
Ihr Gegenbeispiel funktioniert, dachte seit Ihrem $X_2^2$ ist konstant, es ist nicht sehr aufschlussreich, da es von allem unabhängig ist
Ein anderer könnte zu haben sein $A$ und $B$ unabhängig Standard normal (Mittelwert $0$Varianz $1$) und
$X_1=A$ während $X_2=\text{sign}(A)\, |B|$.
Dann $X_1$ und $X_2$ sind positiv korrelierte Normalverteilungen während $X_1^2$ und $X_2^2$ sind unabhängige Chi-Quadrat-Verteilungen