Wie bewertet man das Doppelintegral über einer nicht geschlossenen Fläche?

Question

Lassen $\vec{F}=(x+2y)e^zi+(ye^z+x^2)j+y^2zk$ und lass $S$ sei die Oberfläche $x^2+y^2+z=1$, $z\geq 0$. Wenn$\hat{n}$ ist eine Einheit normal zu $S$ und $$\left|\iint_S(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}\, dS\right|=\alpha\pi.$$ Dann $\alpha=?$

Wir können den Gauß-Divergenzsatz hier nicht anwenden, da die Oberfläche S nicht geschlossen ist. Wie gehe ich dann in dieser Frage vor? Bitte helfen Sie.

Answer 1

Beachten Sie, dass die Grenze der Oberfläche die Kurve ist $\{(x,y,z):x^2+y^2=1\cap z=0\}$Nach dem Satz von Stokes ist das Integral der Kräuselung auf beiden Flächen identisch, wenn zwei Flächen dieselbe Grenze teilen. Dh

$$\iint\limits_S (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS$$

wobei beide entweder nach oben oder nach unten ausgerichtet sind.

Warum macht das das Leben leichter? Für den Anfang ist der Jacobian zwischen dem$z=0$ Flugzeug und das Übliche $xy$ Koordinaten ist $1$ (Der Jakobianer von allem von sich selbst zu sich selbst ist $1$) und der Normalenvektor zeigt nur in die $z$ Richtung, was bedeutet, dass wir nicht einmal die gesamte Locke berechnen müssen, sondern nur die $z$ Komponente, die ist

$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x-2e^z$$

Dies gibt uns die folgende Gleichheit

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x-2e^0\:dA = \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2x\:dA - \iint\limits_{x^2+y^2\leq 1}2\:dA$$

$2x$ ist eine ungerade Funktion, so dass sein Integral auf der Festplatte von verschwindet $x$Symmetrie. Das einzige verbleibende Integral ist eine Konstante, die uns nur die Fläche der Oberfläche mal diese Konstante gibt:

$$\iint\limits_{x^2+y^2\leq 1 \:\cap\:z=0} (\nabla \times F)\cdot dS = -2\pi$$

So $\alpha =2$