Wie findet man bei gegebener Krümmungsgleichung die passende Familie parametrischer Gleichungen?
Ich habe hier einige Fragen und Antworten für Sonderfälle zum Finden der parametrischen Gleichungen für eine bestimmte Krümmung gesehen. Z.B; Finden Sie die parametrische Gleichung für eine Kurve mit gegebener Krümmung . Ich fürchte jedoch, ich verstehe den allgemeinen Prozess nicht. Könnte mich jemand durch den Prozess führen?
Ich interessiere mich für parametrische Gleichungen der Form
$$\gamma(s)=(x(s),y(s))$$
Daher hat die Krümmung unterschrieben
$$\kappa=\frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^\frac{3}{2}}$$
Meine Frage ist
Gegeben die Gleichung für $\kappa(s)$, wie finden Sie die Lösungsfamilie für $\gamma(s)$?
Ich gehe davon aus, dass es eine einzigartige Kurve gibt, die zufriedenstellt $\kappa(s)$, obwohl die endgültige Lösung drei Konstanten haben wird, $x_0$, $y_0$, und $\theta$, die eine beliebige Translation und Rotation (oder einige Äquivalente) einer solchen Kurve codieren, da sich die Krümmung intuitiv nicht um die Translation oder Rotation der gesamten Kurve kümmert.
Abschließend bin ich einfach ein überoptimistischer Student, und als solcher habe ich mich nur akademisch mit Differentialgleichungen erster Ordnung befasst und habe nur eine autodidaktische Krümmung. Unabhängig davon verstehe ich konzeptionell jeden. Als solches würde ich eine Antwort ungefähr auf meinem Verständnisniveau schätzen.
Antworten
Es gibt nicht nur eine willkürliche Drehung und Translation, sondern auch eine Reflexion und Parametrisierung der Kurve. Nehmen Sie also zunächst die Standardparametrisierung der Bogenlänge, bei der die Definition der Krümmung erfolgt$$\mathbf{t}'(s)=\kappa(s)\mathbf{n}(s)$$ wo $\mathbf{t}(s)=(x'(s),y'(s))$ ist der Tangentenvektor und $\mathbf{n}(s)=(-y'(s),x'(s))$ist 'der' normale Vektor. Letzteres ist nur bis zu einem Zeichen definiert, daher muss man eines davon willkürlich auswählen. Dies fixiert die Händigkeit der Kurve, dh die Reflexion.
Daher ist die zu lösende Differentialgleichung $$\begin{pmatrix}x''(s)\cr y''(s)\end{pmatrix}=\kappa(s)\begin{pmatrix}-y'(s)\cr x'(s))\end{pmatrix}$$ Als Gleichung zweiter Ordnung sollte dies vier Integrationskonstanten ergeben, aber es gibt die Bogenlängenbeschränkung $(x')^2+(y')^2=1$Tatsächlich bleiben also nur drei Konstanten übrig: zwei für Übersetzungen und eine für Rotation.
Wie ich bereits sagte "Ich habe mich nur akademisch mit Differentialgleichungen erster Ordnung befasst" , könnte diese Antwort auf meine eigene Frage mit Fehlern überfüllt sein, aber dies ist (glaube ich) die allgemeine Form, nach der ich gesucht habe. Vielen Dank an Chrystomath für den Einblick.
Wenn $(x')^2+(y')^2=1$, dann
$$\kappa=x'y''-y'x''$$
Ebenfalls, $(x')^2+(y')^2=1\implies y''=-\frac{x'x''}{y'}$
$$\implies -\kappa y'=x''\implies\kappa^2(y')^2=(x'')^2\implies\kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2$$
Lassen $u=x'$
$$\implies \kappa^2(1-(x')^2)=(x'')^2=\kappa^2(1-u^2)=(u')^2\implies\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm u'$$ $$\kappa\sqrt{1-u^2}=\pm \frac{du}{dt}\implies\pm\kappa dt=\frac{du}{\sqrt{1-u^2}}$$ $$\implies\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)+c_1$$ $$\implies c_1\pm\int\kappa=\sin^{-1}(u)\implies u=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\implies x'=\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)$$ $$\therefore x=\int\sin(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Mit ähnlicher Logik folgt
$$y=\int\cos(c_1\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt$$
Daher kann die parametrische Gleichung gefunden werden (herkömmliches Austauschen $\sin$ und $\cos$) sein
$$\gamma(s)=\begin{pmatrix} x_0+\int_0^s\cos(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt \cr y_0+\int_0^s\sin(\theta\pm\scriptsize\int\normalsize\kappa)dt\end{pmatrix}$$
Siehe da, wie von Chrystomath prophezeit: drei Konstanten (zwei für die Translation und eine für die Rotation) und die Reflexionen (angezeigt durch $\pm$)!