Wie kann man dieses Polynom faktorisieren?

Nov 25 2020

Ich habe versucht, dieses Polynom zu berücksichtigen:

$x^3 + x^2 - 16x + 20$

In dieser Frage gibt es vier Optionen:

  1. ( a ) Es könnte in der folgenden Form berücksichtigt werden:$(x^2 + b)(x+c)$;;
  2. ( b ) Es könnte in der folgenden Form berücksichtigt werden:$(x+b)(x+c)(x+d)$, vorausgesetzt, dass $b \neq c \neq d$
  3. ( c ) Es konnte nicht berücksichtigt werden.
  4. ( d ) Es könnte in der folgenden Form berücksichtigt werden:$(x+b)^2 (x+c) $

So habe ich es versucht: Ich habe versucht, durch Gruppieren des x zu faktorisieren, daher habe ich Folgendes erhalten: $x(x^2 + x - 16) + 20$. Jetzt habe ich das gesetzt$x$ und das $20$ zusammen: $(x+20)(x^2 + x - 16)$. Dann habe ich versucht, den zweiten Begriff zu berücksichtigen:$(x+20)(x-16)(x+1)$. Die Antwort wäre also nach diesem Algorithmus "b".

Ich habe den Test abgeschlossen (es ist eine Simulation für den Zulassungstest, den ich durchführen werde), die Antworten eingereicht und festgestellt, dass diese Frage nicht korrekt ist.

Antworten

9 KingLogic Nov 25 2020 at 14:23

Wie @Fernis in den Kommentaren betonte,

Sie können das nicht herausrechnen $(x+20)$wie du es getan hast. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor von$(x+20)$ zwischen $x^2+x−16$ und $20$.

Verwendung der https://en.wikipedia.org/wiki/Rational_root_theoremkönnen Sie wissen, dass die möglichen rationalen Wurzeln sind $\pm 1, \pm2, \pm4, \pm5, \pm10, \pm20$.

Durch Inspektion und Polynom / synthetische Teilung können Sie erhalten $(x-2)^2(x-5)$, wie @saulspatz sagte. Daher ist (d) Ihre Antwort.

4 YvesDaoust Nov 25 2020 at 14:31

Am einfachsten ist es (d), weil das Polynom eine Doppelwurzel hat. Wir werden nach einer Wurzel der Ableitung suchen und prüfen, ob sie das Polynom aufhebt.

$$3x^2+2x-16=0\iff x=2\text{ or }x=-\dfrac83.$$

Jetzt $p(2)=0$, Bingo!

2 Nikhil Nov 25 2020 at 14:46

Dieser ist leicht zu faktorisieren. Mal sehen wie.

Beginnen Sie mit dem Einstecken $x=0,1,-1,2$ und so weiter.

Sie werden durch Inspektion feststellen, dass $x=2$ist eine Null des Polynoms. Deshalb,$(x-2)$ ist sein Faktor.

Berücksichtigen Sie nun das Polynom so, dass $(x-2)$ wird üblich.

$$x^3+x^2-16x+20$$ $$=x^3-2x^2+3x^2-6x-10x+20$$ $$=x^2(x-2)+3x(x-2)-10(x-2)$$ $$=(x-2)(x^2+3x-10)$$ $$=(x-2)(x^2+5x-2x-10)$$ $$=(x-2)[x(x+5)-2(x+5)]$$ $$=(x-2)^2(x+5)$$