Wie kommt es, dass jede Wahrscheinlichkeit in einer Normalverteilung mit der gleichen Häufigkeit auftritt? [Duplikat]

Question

Ich habe kürzlich festgestellt, dass, wenn Sie 10000 normalverteilte Zahlen generieren und dann die mit jeder Zahl verknüpfte Wahrscheinlichkeit (pnorm) ermitteln, jede Wahrscheinlichkeit von 0 bis 1 mit ungefähr derselben Häufigkeit auftritt. So habe ich es in R gemacht:

var2 <- numeric(10000)
normnos <- rnorm(10000)
for (i in 1:10000) {
  var2[i] <- pnorm(normnos[i])
}
hist(var2)

Wie ist das möglich? Wenn alle Wahrscheinlichkeiten gleich wahrscheinlich sind, wäre die resultierende Verteilung dann nicht gleichmäßig statt normal? Ich bin wirklich verwirrt und würde mich über eine Erklärung freuen.

Answer 1

1. pnorm berechnet nicht die Wahrscheinlichkeit der abgetasteten Zahl, sondern berechnet sie $P(X \leq x)$- Das ist die kumulative Verteilungsfunktion. Um die Wahrscheinlichkeit der Stichprobenzahl zu berechnen, müssen Sie die PDF-Normalverteilung verwenden, in diesem Fall also$p(x_i - \delta < X < x_i + \delta) = N(x_i | \mu = 0, \sigma = 1)$ ($\delta$ sehr klein).
2. Das von Ihnen geplottete Histogramm ist die Verteilung der cdf-Werte, die unabhängig von der Verteilung immer gleichmäßig ist. Dies ist als " Universalität der Uniform " bekannt.
3. Angenommen, mathematisch $X$ ist eine Zufallsvariable mit pdf $p_X(x)$ und cdf $F_X(x) = P(X \leq x)$. Lassen$T$ sei die Zufallsvariable $T = F_X(X)$ - die Proben, die Sie im Histogramm aufgezeichnet haben. $T$ ist zufällig, weil $X$(normale Variable in Ihrem Fall) ist zufällig. Dann,$$F_T(t) = P(T \leq t) = P(F_X(X) \leq t) = P(X \leq F_X^{-1}(t)) = F_X(F_X^{-1}(t)) = t$$
4. $F_T(t) = t$- Dies ist das PDF einer gleichmäßigen Verteilung. Das PDF von T ist also einheitlich - was Sie gezeichnet haben. Beachten Sie, dass die Umkehrung von$F_{X}(x)$ existiert nur wenn $F_X$ ist kontinuierlich und streng steigend.

Hoffe das hilft! :) :)