Wie man die Summe von 2 Gaußschen Verteilungen beweist, ist auch eine Gaußsche Verteilung unter Verwendung der charakteristischen Funktion [Duplikat]
Sei X und Y zwei $ \mathcal{N}(0, 1) $Verteilungen. Ich muss das beweisen für$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ entspricht $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.
Ich versuche dies mit der charakteristischen Funktion einer Gaußschen Verteilung zu tun. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
Ich weiß nicht wirklich, was ich tun soll, da ich durch Ändern der Variablen nicht sowohl x als auch y ersetzen kann. Irgendwelche Vorschläge?
Antworten
Lassen $Z=aX+bY$. Die charakteristische Funktion von$Z$ ist:
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
BEARBEITEN (Schlampiger Fehler ...) Wenn X und Y unabhängig sind:
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
wo $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$ist die charakteristische Funktion der Normalverteilung. So,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
Das ist die charakteristische Funktion der Normalverteilung $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.