Wie man die Umlaufbahn der Größe versteht $1$ in diesem Fall
Ich bin ein selbststudierender Anfänger in Gruppentheorie. Bitte nehmen Sie diese Frage in Kauf, die einige einfache Antworten haben könnte. Angenommen$p$-Gruppe $G$ für einige Prime $p$, Lassen $H$ eine Untergruppe von sein $G$. Lassen$X$ sei die Menge aller Konjugate von $H$.
Jetzt, $H$ wirkt auf $X$durch Konjugation. Ich habe gelesen, dass es zumindest gibt$p$ Umlaufbahnen von Größe $1$ im $X$.
Ein Beispiel für eine Umlaufbahn mit Größe $1$ ist $\{H\} \in X$. Dieses Beispiel folgt seitdem$aHa^{-1}=H$ für jeden $a \in H$ schon seit $H$ ist eine Untergruppe, und wir haben $\text{Orb}(H)=H$.
Aber das habe ich seitdem gelesen $p$ ist prim, dass es zumindest gibt $p-1$ andere Umlaufbahnen von Größe $1$. Es sollte also eine andere Umlaufbahn geben$gHg^{-1} \neq H$ von Größe $1$ im $X$.
Was ich nicht verstehe ist wie $gHg^{-1}$ könnte von Größe sein $1$ unter der Aktion von $H$. Sollte das nicht so heißen?$\text{Orb}(gHg^{-1})=\{agHg^{-1}a^{-1} | a \in H\}$ und $\text{Orb}(gHg^{-1})$ muss nicht unbedingt gleich sein $gHg^{-1}$. Es sollte jedoch Größe haben$1$, was bedeutet, dass $\text{Orb}(gHg^{-1})$ sollte in der Tat gleich sein $gHg^{-1}$.
Als Referenz stammt dieses Ergebnis aus Rotmans Satz 4.6, in dem keine zusätzlichen Bedingungen auferlegt wurden $H$ und $G$ außer dass $H$ ist eine Untergruppe der $p$-Gruppe $G$ ... Was vermisse ich hier?
Antworten
Das erste, was zu beachten ist, ist, dass wenn $|X| = 1$ dann werden wir nicht haben $p-1$ andere Umlaufbahnen müssen wir also auch annehmen $|X| \gt 1$.
Wir werden diese beiden Eigenschaften von Umlaufbahnen verwenden, um unsere Aussage zu beweisen:
Die Umlaufbahnen sind disjunkt und ihre Vereinigung ist die gesamte Menge $X$ (Dies sollte leicht zu sehen sein).
Die Umlaufbahngröße teilt die Gruppenreihenfolge (dies wird im Satz des Umlaufbahnstabilisators bewiesen).
Durch Eigenschaft (1) haben wir das $$|X| = \sum_{Y \in \mathcal{O}} |Y|$$ wo $\mathcal{O}$ist das Set, das alle Umlaufbahnen der Aktion enthält. Jetzt trennen wir uns$\mathcal{O}$ in zwei disjunkte Teilmengen: $\mathcal{O'}$ und $\mathcal{O''}$ wo $\mathcal{O'}$ ist die Menge aller Umlaufbahnen der Größe $1$ und $\mathcal{O''}$ ist die Menge aller Umlaufbahnen mit einer Größe größer als $1$. Das heisst$$|X| = \sum_{Y' \in \mathcal{O'}} |Y'| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$$ schon seit $|Y'| = 1$. Unter Eigenschaft (2) wissen wir das$|Y''|$ teilt $|X| = p^n$ und $|Y''| > 1$ was bedeutet, dass $|Y''| = p^k$ wo $k > 1$ was bedeutet $p$ teilt $|Y''|$. Wir können sehen$X$ als Umlaufbahn, in der die Gruppenaktion die Konjugation durch die Gruppe ist $G$. Dies bedeutet, dass$|X|$ teilt $|G| = p^n$. Schon seit$|X| > 1$ wir haben das $p$ teilt $|X|$. Schon seit$|X| = |\mathcal{O'}| + \sum_{Y'' \in \mathcal{O'}} |Y''|$, $p$ muss sich auch teilen $|\mathcal{O'}|$ was bedeutet $|\mathcal{O'}| = pm$ für einige $m \gt 1$ was bedeutet $|\mathcal{O'}| \geq p$ Das wollten wir beweisen.