Wie sind affin (in) abhängige Vektoren in $\mathbb R^n$ im Raum angeordnet?

Question

Betrachten Sie eine endliche Menge von Vektoren $\{v_i\}_i\subset\mathbb R^n$.

Diese Menge ist linear unabhängig, wenn $\sum_k \alpha_k v_k=0$ impliziert $\alpha_k=0$. Geometrisch verstehe ich unter linearer Abhängigkeit die Aussage, dass eine Reihe von Vektoren in einer Hyperebene enthalten ist, die durch den Ursprung verläuft.

Auf der anderen Seite sagen wir das $\{v_i\}_i$sind affin abhängig, wenn$\sum_k \alpha_k v_k=0$ zum $\alpha_k$nicht alle Null und so dass$\sum_k\alpha_k=0$. Gibt es eine ähnliche geometrische Intuition, um zu visualisieren, wann ein Set$\{v_i\}_i$ ist affin abhängig / unabhängig?

Answer 1

Ihre Charakterisierung der linearen (In-) Abhängigkeit ist nicht ganz richtig. Jeder Satz von Vektoren ist durch den Ursprung in einer Art Hyperebene enthalten, nämlich durch seine Spanne.

Stattdessen würde ich sagen, dass eine endliche Menge von Vektoren linear abhängig ist, wenn sie in einer Hyperebene durch den Ursprung liegen, dessen Dimension kleiner als die Anzahl der Vektoren in der Menge ist.

Und in ähnlicher Weise eine endliche Menge von Punkten in $\mathbb R^n$ist affin abhängig, wenn es in einer Hyperebene liegt, deren Dimension kleiner ist als die Anzahl der Punkte in der Menge minus 1 . Somit sind 3 verschiedene Punkte auf einer Linie affin abhängig, aber 2 verschiedene Punkte auf einer Linie sind affin unabhängig.

Es gibt noch ein schönes geometrisches Bild affiner Unabhängigkeit:

• Ein Punktepaar ist affin unabhängig, wenn es sich um die Endpunktmenge eines Liniensegments handelt (was genau dann auftritt, wenn die beiden Punkte in diesem Paar ungleich sind).
• Ein Dreifach von Punkten ist affin unabhängig, wenn es sich um die Scheitelpunktmenge eines Dreiecks handelt
• Ein Vierfacher von Punkten ist affin unabhängig, wenn es sich um die Scheitelpunktmenge eines Tetraeders handelt
• ein $k$-Tupel von Punkten ist affin unabhängig, wenn es die Scheitelpunktmenge von a ist $k-1$dimensionaler Simplex .

Answer 2

Wie @ runway44 sagt, bedeutet affinabhängig "sie sind alle in der Hyperebene", obwohl möglicherweise eine Hyperebene, die den Ursprung nicht enthält. Um dies schnell zu sehen, nehmen Sie die$k+1$ Vektoren $$ v_0, v_1 \ldots, v_k $$ mit $$ \sum a_i v_i = 0, \sum a_i = 1 $$ und subtrahieren $v_0$ von jedem von $v_1, \ldots, v_k$ bekommen $w_1, \ldots, w_k$.

Dann die Vektoren $w_k$Alle liegen auf einer parallelen Hyperebene durch den Ursprung. (Es lohnt sich, die Algebra zu machen, um dies selbst festzustellen).

Oder, um es in eine klassischere Form zu bringen, wenn wir nehmen $v_0$ als Ursprung eines neuen Koordinatensystems, dann die verbleibenden $v_i$ Vektoren liegen alle in einer Hyperebene.