Wie würden Sie dies als Markov-Kette modellieren?

Question

Es gibt zwei Maschinen, die unterschiedlich schnell ausfallen , µ$_A$für Maschine A und µ$_B$für Maschine B. Wenn sie ausfallen, kann eine Maschine von einem von zwei Mechanikern repariert werden. Angenommen, zwei Mechaniker, X und Y, haben unterschiedliche Fähigkeiten und reparieren in exponentiellen Zufallszeiten mit den Parametern λ$_X$und λ$_Y$, beziehungsweise. (Die Rate hängt jedoch nicht davon ab, welche Maschine repariert wird.)

Wie würden Sie dies als Markov-Kette modellieren?

Answer 1

Angenommen, wenn beide Maschinen bei einem Ausfall arbeiten, haben die Mechaniker die gleiche Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, um die Maschine zu reparieren. Der Zustandsraum ist$$ S=\{(1,1), (0_X,1), (0_Y,1), (1,0_X), (1,0_Y), (0_X,0_Y), (0_Y,0_X) \}. $$ Die Übergangsraten sind gegeben durch $$ q_{(i,j),(i',j')} = \begin{cases} \frac{\mu_A}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(0_X,1),(0_Y,1)\}\\ \frac{\mu_B}2,& (i,j)=(1,1)\text{ and } (i',j') \in \{(1,0_X),(1,0_Y)\}\\ \lambda_X,& (i,j) \in \{(0_X,1),(1,0_X)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) \in \{(0_Y,1),(1,0_Y)\} \text{ and } (i',j') = (1,1)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \mu_A,& (i,j) = (1,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_X,1)\text{ and } (i',j') = (0_X,0_Y)\\ \mu_B,& (i,j) = (0_Y,1)\text{ and } (i',j') = (0_Y,0_X)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (1,0_Y)\\ \lambda_X,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (0_Y,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_X,0_Y)\text{ and } (i',j') = (0_X,1)\\ \lambda_Y,& (i,j) = (0_Y,0_X)\text{ and } (i',j') = (1,0_X)\\ 0,& \text{otherwise.} \end{cases} $$ Lassen $Z(t)$ der Zustand des Systems zur Zeit sein $t$, dann $\{Z(t):t\geqslant 0\}$ ist eine zeitkontinuierliche Markov-Kette mit Generatormatrix $$ Q = \small\left( \begin{array}{ccccccc} -\left(\mu _A+\mu _B\right) & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & \frac{\mu _A}{2} & \frac{\mu _B}{2} & 0 & 0 \\ \lambda _X & -\left(\mu _B+\lambda _X\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B & 0 \\ \lambda _Y & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & 0 & 0 & 0 & \mu _B \\ \lambda _X & 0 & 0 & -\left(\mu _A+\lambda _X\right) & 0 & 0 & \mu _A \\ \lambda _Y & 0 & 0 & 0 & -\left(\mu _B+\lambda _Y\right) & \mu _B & 0 \\ 0 & \lambda _Y & 0 & 0 & \lambda _X & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) & 0 \\ 0 & 0 & \lambda _X & \lambda _Y & 0 & 0 & -\left(\lambda _X+\lambda _Y\right) \\ \end{array} \right). $$ Der Prozess hat eine einzigartige stationäre Verteilung $\pi$ was befriedigt $$ \pi_{(i,j)} = \lim_{t\to\infty} \mathbb P(Z_t = (i,j)) $$ (unabhängig von der Verteilung von $Z_0$). Wir können finden$\pi$ durch Berechnen der Exponentialmatrix $e^{Qt}$ (Dies ist die einzigartige Lösung für die Kolmogorov-Rückwärtsgleichung $P'(t)=QP(t)$, $P'(0)=Q$) und nehmen Sie eine der Reihen von $\lim_{t\to\infty} e^{Qt}$. Praktischer gesagt$\pi$ erfüllt das System der linearen Gleichungen $\pi Q=0$. Beachten Sie, dass$Q$ ist singulär (dh $\det Q=0$) da seine Zeilen alle zu Null summieren, müssen wir eine der Gleichungen durch ersetzen $\sum_{(i,j)\in S} \pi_{(i,j)}=1$. Aufgrund der Größe dieser Matrix und der Anzahl der Parameter ist die Lösung in geschlossener Form jedoch etwas unhandlich. Zum Beispiel habe ich das gefunden$$ \pi_{(1,1)} = \tiny\frac{2 \lambda _X \lambda _Y \left(2 \mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right) \left(\mu _A+\mu _B+\lambda _X+\lambda _Y\right)}{\lambda _X^2 \left(\mu _B \left(3 \mu _A+10 \lambda _Y\right)+\left(\mu _A+2 \lambda _Y\right){}^2+6 \mu _B^2\right)+\lambda _X \left(\mu _B \left(7 \mu _A \mu _B+4 \mu _A^2+5 \mu _B^2\right)+\lambda _Y^2 \left(6 \mu _A+8 \mu _B\right)+\lambda _Y \left(\mu _A+3 \mu _B\right) \left(3 \mu _A+4 \mu _B\right)+2 \lambda _Y^3\right)+\left(\mu _B \left(3 \mu _A+4 \lambda _Y\right)+2 \lambda _Y \left(\mu _A+\lambda _Y\right)+\mu _B^2\right) \left(\mu _B \left(\mu _A+\mu _B\right)+\mu _A \lambda _Y\right)+2 \lambda _X^3 \left(\mu _B+\lambda _Y\right)} $$ (Der Nenner ist in zwei Zeilen unterteilt, um ein Dehnen der Seite zu verhindern.)