Wie zeigen wir das? ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ ist nicht absolut konvergent?

Dec 31 2020

Dies ist aus der komplexen Analyse von Shakarchi und Stein im Kapitel der elliptischen Funktionen.

Wie zeigen wir das? ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ ist nicht absolut konvergent, wo $\wedge$ist ein Doppelgitter in einer komplexen Ebene? Es scheint mir schwierig zu sein, die absolute Konvergenz der komplexen unendlichen Summen zu zeigen. Vielleicht kann ich versuchen, diese Serie zu binden und die Tatsache aus echten Serien zu verwenden, aber ich weiß nicht wie.

Antworten

3 Conrad Dec 31 2020 at 08:27

Durch eine Rotation können wir annehmen, dass das Gitter ist $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ und wlog können wir annehmen $a \ge 0$ wie sonst verwenden wir $n <0$ im folgenden.

Fix $z=x+iy$, so $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$.

Dann wenn $Nb>|y|$, wir bekommen $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

und ähnlich $M>0, M+Na >|x|$ impliziert $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

Das bedeutet, dass $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

Aber jetzt summieren wir nur diese Begriffe und nennen diese Summe $S$ wir bekommen das:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

Damit kann eine doppelte Reihe positiver Zahlen nach Belieben ausgetauscht werden (mit demselben Ergebnis entweder endlich oder unendlich), die wir sofort erhalten (da der Summand abnimmt $m$) das für fest $n \ge N$::

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

wo $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ wie $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ und der Arkustangens nimmt zu

Aber das zeigt das $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ Die doppelte Reihe von Absolutwerten auf einer Gitteruntermenge ist also bereits unendlich und wir sind fertig!