Zählbarkeit der Menge von $t$ so dass $E-tB$ ist nicht injektiv
Betrachten Sie einen trennbaren Hilbert-Raum $\mathcal H$ und zwei kompakte selbstadjunkte kontinuierliche Operatoren $E,B:\mathcal H \to \mathcal H$. $E$ ist injektiv.
Betrachten Sie nun das Set $$\tau = \{t\in [0,1]: E-tB\;\; \mathrm{is}\;\mathrm{NOT}\; \mathrm{injective} \}\,.$$
Ich denke, dass die Kardinalität von $\tau$ ist höchstens zählbar.
Klar alles wenn einfach wenn $E$ und $B$eine Basis von Eigenfunktionen teilen. In der Tat, da für alle$t$ $E-tB$ ist kompakt und selbstadjunkt, können wir schreiben $$E-tB = \sum_{n=0}^\infty (\lambda_n - t\mu_n)P_n$$ wo $P_n$ sind die Projektoren auf den Eigenräumen und $\lambda_n$ und $\mu_n$ die Eigenwerte von $E$ und $B$beziehungsweise. Also in diesem Fall$$\tau = \{t\in [0,1]: \lambda_n = t \mu_n\;\;\mathrm{for}\;\mathrm{some}\;n\}\,,$$ das ist eindeutig zählbar.
Aber wie geht man mit dem allgemeinen Fall um? Die Eigenschaft gilt noch?
Antworten
Hier ist eine teilweise Antwort in dem speziellen Fall, dass $E\geq 0$.
Nehmen Sie im Widerspruch an, dass $\{t_i\}_{i\in I}$ ist eine unzählige Teilmenge von $[0,1]$ so dass $E-t_iB$ ist nicht für alle injektiv $i$und wählen Sie Vektoren ungleich Null $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ so dass $E(x_i)=t_iB(x_i)$, für alle $i$.
Wenn $t_i\neq t_j$ beachte das $$ t_i\langle B(x_i),x_j\rangle = \langle E(x_i),x_j\rangle = \langle x_i,E(x_j)\rangle = \langle x_i,t_jB(x_j)\rangle = t_j\langle B(x_i),x_j\rangle , $$ damit $\langle B(x_i),x_j\rangle =0$und folglich auch $\langle E(x_i),x_j\rangle =0$. Damit$E$ ist positiv, wir können schreiben $E=E^{1/2}E^{1/2}$, damit $$ 0=\langle E(x_i),x_j\rangle = \langle E^{1/2}(x_i),E^{1/2}(x_j)\rangle , $$ und daraus folgt $\{E^{1/2}(x_i)\}_{i\in I}$ ist eine unzählige Familie paarweise orthogonaler Vektoren in $H$ein Widerspruch.
EDIT (1): Hier ist eine weitere interessante Tatsache. Sollte die Antwort auf die ursprüngliche Frage positiv sein, ist sie auch ohne die Hypothese positiv$B$ und $E$ sind selbstadjunkt.
Hier ist der Grund: Nehmen wir an, dass die (möglicherweise nicht selbstadjunkten) kompakten Operatoren $B$ und $E$mit $E$ injektiv, ergeben ein Gegenbeispiel, dh man kann eine unzählige Teilmenge finden $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ und eine entsprechende Familie $\{x_i\}_{i\in I}\subseteq H$ von Vektoren ungleich Null, so dass $E(x_i)=t_iB(x_i)$, für alle $i$.
Betrachten Sie die Operatoren $\tilde B$ und $\tilde E$, Einwirken auf $H\oplus H$, wie folgt definiert: $$ \tilde B = \pmatrix{0 & B^*\cr B & 0}, \qquad \tilde E = \pmatrix{0 & E^*\cr E & I}, $$ wo $I$ bezeichnet den Identitätsoperator ein $H$. Berücksichtigen Sie auch die Vektoren$\tilde x_i\in H\oplus H$ gegeben durch $\tilde x_i = \pmatrix{x_i\cr 0}$.
Eine einfache Berechnung zeigt das $\tilde E(\tilde x_i)=t_i\tilde B(\tilde x_i)$, damit $\tilde E-t_i\tilde B$ist nicht injektiv. Offensichtlich beides$\tilde B$ und $\tilde E$ sind kompakt und selbstadjunkt, und das werden wir als nächstes zeigen $\tilde E$ist injektiv. Nehmen wir dazu an$\pmatrix{x\cr y}$ liegt im Nullraum von $\tilde E$. Daraus folgt also $E^*(y) = 0$ und $E(x)+y=0$. Bewirbt sich$E^*$ zu letzterer Identität gibt $$ 0 = E^*E(x)+E^*y=E^*E(x), $$ daher $$ 0 = \langle E^*E(x), x\rangle = \langle E(x), E(x)\rangle = \Vert E(x)\Vert ^2, $$ führt zu $E(x)=0$, und auch $x=0$, da $E$ist injektiv. Einstecken in$E(x)+y=0$gibt endlich $y=0$, auch.
Daher das Paar $(\tilde B, \tilde E)$liefert ein Gegenbeispiel für die ursprüngliche Frage, von der wir eine positive Antwort annehmen. Wir sind also zu einem Widerspruch gekommen und beweisen damit die Aussage.
EDIT (2): Die Kompaktheit Hipotheses können auch entfernt werden !! Hier ist der Grund: Nehmen wir an, dass die (möglicherweise nicht kompakten) Operatoren begrenzt sind$B$ und $E$mit $E$ injektiv, ergeben ein Gegenbeispiel, dh man kann eine unzählige Teilmenge finden $\{t_i\}_{i\in I}\subseteq [0,1]$ so dass $E-t_iB$ ist nicht für alle injektiv $i$.
Jeder trennbare Hilbert-Raum lässt einen injektiven kompakten Operator zu (z. B. den Diagonaloperator mit diagonalen Einträgen $1,1/2,1/3,\ldots $ auf $l^2$) also lass $K$ sei so ein Betreiber auf $H$. Dann klar$KE$ ist aber injektiv $$ KE-t_iKB = K(E-t_iB) $$ ist nicht. Also das Paar kompakter Operatoren $(KB, KE)$ liefert ein Gegenbeispiel wie in EDIT (1), das wiederum zu einem Gegenbeispiel für die ursprüngliche Frage gemacht werden kann.
EDIT (3): In diesem Beitrag finden Sie ein Gegenbeispiel für die Situation in EDIT (2), damit die Frage im NEGATIVE endgültig geklärt ist !!
Um etwas genauer zu sein, $E$ wird als Identitätsoperator angesehen und $B$ die Rückwärtsverschiebung (wohlgemerkt für $t$ ungleich Null hat man das $E-tB$ ist injektiv iff $t^{-1}E-B$ ist).