Zeige, dass $2^n-1 \neq k^y$ für ungerade $y$ [Duplikat]

Question

Zum $n\in \mathbb N$, $n>1$ Beweise das $$2^n-1 \neq k^y$$ für alle $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$

Unter der Annahme, dass es einen Widerspruch gibt $(k,y)$ so dass $2^n-1 = k^y$Es gelang mir zu beweisen, dass das Paar für ein gerades k und für ein gerades y nicht existiert.

Ich muss beweisen, dass es auch für ein ungerades y nicht existiert.

Ich muss in diesem Beweis das verwenden

$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$

Vielen Dank!

Answer 1

Wenn $y$ ist ungerade (z $y=2z+1$), dann:

$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$

Dies bedeutet, dass die Summe in den zweiten Klammern rechts hat $2z+1$ Begriffe, die alle ungerade sind, also ist die ganze Summe ungerade.

Dies bedeutet wiederum, dass $2^n\mid k+1$ wie alle Vorkommen des Primfaktors $2$ muss im ersten Faktor vorhanden sein $k+1$.

Wie wir es aber auch haben $k+1\mid 2^n$, Dies bedeutet, dass $k+1=2^n$dh $k=2^n-1=k^y$. Also entweder$k=1$ und so $2^n=2$dh $n=1$ (Widerspruch) oder $k>1$, was impliziert $y=1$ (Widerspruch).