Déterminez tous les ensembles d'entiers non négatifs x, y et z qui satisfont l'équation $2^x + 3^y = z^2$ [dupliquer]
Déterminez tous les ensembles d'entiers non négatifs x, y et z qui satisfont l'équation $2^x + 3^y = z^2$
Cela est venu dans l'INMO 1992 et assez curieusement semble également avoir été inclus dans le BMO Round 2 1996? Je n'ai jamais entendu parler d'une question directement copiée d'une autre Olympiade, c'était donc une première pour moi.
Bref, d'abord, j'ai regardé l'affaire $y=0$. Cela m'a rapidement donné une solution, à savoir$(x,y,z)=(3,0,3)$
Ensuite, j'ai considéré $x,y,z>0$
Nous savons $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ et que les carrés parfaits sont $\equiv 0,1 \bmod 3$. Il est facile de voir que la seule combinaison qui fonctionne est$x$ être égal et $z=3m+1$ type $\Rightarrow z$ est impair
De plus, nous savons que les carrés parfaits impairs sont $\equiv 1 \bmod 4$. Plus loin,$3^y\equiv (-1)^y \bmod 4$ et depuis $x$ est même cela implique que $x≥2$ Donc $2^x$ est divisible par $4$. Cela implique en outre que$(-1)^y \equiv 1 \bmod 4 \Rightarrow y$ est également égal.
Laisser $x=2k$. Alors notre expression originale devient$$3^y=(z+2^k)(z-2^k)$$ Nous avons deux possibilités: la première est que $(z-2^k)=1$ et $(z+2^k)=3^y$ et le second est $(z-2^k)=3^{y-a}$ et $(z+2^k)=3^a$. Mais depuis que nous avons précédemment établi que$z=3k±1$ et comme $2^k \equiv (-1)^y \bmod 3$, nous pouvons rapidement écarter la deuxième possibilité.
Donc nous avons enfin, $$(z-2^k)=1$$ $$(z+2^k)=3^y$$
Ici, je suis malheureusement coincé. Une autre chose que j'ai eue, c'est que$k$ est également pair (ce qui signifie $x$ est lui-même un multiple de $4$). Une autre chose est que depuis$y$ est même $3^y$ est divisible par $9$. Je ne sais pas comment nous pouvons utiliser ce fait pour le moment, mais j'ai pensé qu'il pourrait être utile de le mentionner.
Toute aide pour procéder serait appréciée, merci.
Réponses
Tout d'abord, il y a quelques problèmes mineurs avec votre preuve:
Ensuite, j'ai considéré $x,y,z>0$
Avez-vous trouvé toutes les solutions avec $xyz=0$? (Non!)
Nous savons $2^x + 3^y \equiv (-1)^x+0 \bmod 3$ et que les carrés parfaits sont $\equiv 0,1 \bmod 3$. Il est facile de voir que la seule combinaison qui fonctionne est$x$ être égal et $z=3m+1$ type $\Rightarrow z$ est impair.
C'est vrai que $x$ doit être pair, mais pas que $z\equiv1\pmod{3}$. Il est également possible que$z\equiv2\pmod{3}$. Heureusement, vous déclarez plus tard que$z=3k\pm1$, alors peut-être que ce n'est qu'une faute de frappe. Mais la conclusion que$z$cela semble même déplacé; au lieu de cela, cela découle du simple fait que$x>0$, comme alors $$z^2\equiv 2^x+3^y\equiv1\pmod{2}.$$
Le reste de la preuve est très bien. Les doublons liés fournissent des solutions alternatives (et plus rapides) à votre problème d'origine, mais voici une solution rapide et facile à votre approche:
Vous notez déjà que $y$ est égal, donc $$2^{k+1}=(z+2^k)-(z-2^k)=3^y-1=(3^{y/2}+1)(3^{y/2}-1).$$ Ensuite, les deux facteurs du côté droit sont des puissances de $2$, et ils diffèrent par $2$, alors $y=2$.
Comme indiqué dans les commentaires, il s'agit d'un cas particulier du théorème de Mihăilescu , anciennement connu sous le nom de conjecture catalane. C'était encore une conjecture au moment où ces questions ont été posées dans les concours de l'OMI, il est donc prudent de dire que vous n'étiez pas censé connaître ou utiliser le théorème de Mihăilescu. Les participants qui s'intéressent à la théorie des nombres peuvent être conscients de la conjecture (c'est assez célèbre), donc au moins ils sauraient que cela devrait être la seule solution.